論文の概要: Statistical and Computational Guarantees of Kernel Max-Sliced Wasserstein Distances

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.15441v3
• Date: Sun, 02 Feb 2025 21:27:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-04 16:06:11.605663
• Title: Statistical and Computational Guarantees of Kernel Max-Sliced Wasserstein Distances
• Title（参考訳）: Kernel Max-Sliced Wasserstein 距離の統計的および計算的保証
• Authors: Jie Wang, March Boedihardjo, Yao Xie,
• Abstract要約: カーネル最大スライシング (KMS) ワッサーシュタイン距離は、この目的のために開発された。 KMS の 2$-Wasserstein 距離の計算は NP-hard であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.608373793625107
• License:
• Abstract: Optimal transport has been very successful for various machine learning tasks; however, it is known to suffer from the curse of dimensionality. Hence, dimensionality reduction is desirable when applied to high-dimensional data with low-dimensional structures. The kernel max-sliced (KMS) Wasserstein distance is developed for this purpose by finding an optimal nonlinear mapping that reduces data into $1$ dimension before computing the Wasserstein distance. However, its theoretical properties have not yet been fully developed. In this paper, we provide sharp finite-sample guarantees under milder technical assumptions compared with state-of-the-art for the KMS $p$-Wasserstein distance between two empirical distributions with $n$ samples for general $p\in[1,\infty)$. Algorithm-wise, we show that computing the KMS $2$-Wasserstein distance is NP-hard, and then we further propose a semidefinite relaxation (SDR) formulation (which can be solved efficiently in polynomial time) and provide a relaxation gap for the obtained solution. We provide numerical examples to demonstrate the good performance of our scheme for high-dimensional two-sample testing.
• Abstract（参考訳）: 最適輸送は様々な機械学習タスクで非常に成功したが、次元性の呪いに苦しむことが知られている。 したがって、低次元構造を持つ高次元データに適用する場合、次元減少が望ましい。 カーネル最大スライシング(KMS)ワッサースタイン距離は、ワッサースタイン距離を計算する前にデータを1ドルで次元に還元する最適非線形写像を求めることによって、この目的のために開発された。 しかし、その理論的性質はまだ完全には発展していない。 本稿では、KMS$p$-ワッサーシュタイン距離と一般的な$p\in[1,\infty)$に対する$n$サンプルの2つの経験的分布に対する最先端のKMS$p$-Wasserstein距離と比較して、より穏やかな技術的仮定の下で、鋭い有限サンプル保証を提供する。 アルゴリズム的に、KMS 2$-Wasserstein 距離の計算はNPハードであることを示し、さらに、多項式時間で効率的に解ける半有限緩和法(SDR)の定式化を提案し、得られた解に対して緩和ギャップを与える。 本研究では,高次元2サンプル試験における提案手法の優れた性能を示す数値的な例を示す。

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