論文の概要: Neural Green's Operators for Parametric Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.01857v1
• Date: Tue, 4 Jun 2024 00:02:52 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-05 20:32:51.352851
• Title: Neural Green's Operators for Parametric Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: パラメトリック部分微分方程式に対するニューラルグリーン演算子
• Authors: Hugo Melchers, Joost Prins, Michael Abdelmalik,
• Abstract要約: この研究は、線形偏微分方程式(PDE)のパラメトリック族に対する解演算子を学習する新しいニューラル演算子ネットワークアーキテクチャであるニューラルグリーン演算子(NGO)を導入する。 NGOはディープ・オペレーター・ネットワーク(DeepONets)や可変ミメティック・オペレーター・ネットワーク(VarMiONs)に類似している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This work introduces neural Green's operators (NGOs), a novel neural operator network architecture that learns the solution operator for a parametric family of linear partial differential equations (PDEs). Our construction of NGOs is derived directly from the Green's formulation of such a solution operator. Similar to deep operator networks (DeepONets) and variationally mimetic operator networks (VarMiONs), NGOs constitutes an expansion of the solution to the PDE in terms of basis functions, that is returned from a sub-network, contracted with coefficients, that are returned from another sub-network. However, in accordance with the Green's formulation, NGOs accept weighted averages of the input functions, rather than sampled values thereof, as is the case in DeepONets and VarMiONs. Application of NGOs to canonical linear parametric PDEs shows that, while they remain competitive with DeepONets, VarMiONs and Fourier neural operators when testing on data that lie within the training distribution, they robustly generalize when testing on finer-scale data generated outside of the training distribution. Furthermore, we show that the explicit representation of the Green's function that is returned by NGOs enables the construction of effective preconditioners for numerical solvers for PDEs.
• Abstract（参考訳）: この研究は、線形偏微分方程式(PDE)のパラメトリック族に対する解演算子を学習するニューラルネットワークアーキテクチャであるニューラルグリーン演算子(NGO)を導入している。 我々のNGOの構成は、そのような解作用素のグリーンの定式化から直接導かれる。 ディープ・オペレーター・ネットワーク(DeepONets)や変分ミメティック・オペレーター・ネットワーク(VarMiONs)と同様に、NGOはPDEへの解の拡張を構成する。 しかし、グリーンの定式化に従って、NGOはDeepONetsやVarMiONsのように、サンプル値ではなく入力関数の重み付き平均を受け入れる。 標準線形パラメトリックPDEへのNGOの適用は、トレーニング分布内にあるデータでテストする場合、DeepONets、VarMiONs、Fourierニューラル演算子と競合する一方で、トレーニング分布外のより詳細なデータでテストする場合、堅牢に一般化することを示している。 さらに,NGOによって返却されるグリーン関数の明示的表現により,PDEの数値解法に有効なプレコンディショナーの構築が可能となることを示す。

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