論文の概要: Variationally Mimetic Operator Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.12871v3
• Date: Tue, 29 Aug 2023 19:21:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-08-31 18:13:11.129518
• Title: Variationally Mimetic Operator Networks
• Title（参考訳）: 変分模倣演算子ネットワーク
• Authors: Dhruv Patel, Deep Ray, Michael R. A. Abdelmalik, Thomas J. R. Hughes, Assad A. Oberai
• Abstract要約: 本研究は, 近似変分あるいは弱定式化から得られる数値解の形式を模倣した, 演算子ネットワークのための新しいアーキテクチャについて述べる。 これらのアイデアの汎用楕円型PDEへの応用は、変動緩和作用素ネットワーク(VarMiON)につながる。 VarMiONソリューションにおけるエラーの分析では、トレーニングデータにおけるエラー、トレーニングエラー、入力および出力関数における二次誤差、およびトレーニングデータセットにおけるテスト入力関数と最も近い関数の間の距離を測定する"カバレッジエラー"が含まれていることが明らかになった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7667202894248826
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In recent years operator networks have emerged as promising deep learning tools for approximating the solution to partial differential equations (PDEs). These networks map input functions that describe material properties, forcing functions and boundary data to the solution of a PDE. This work describes a new architecture for operator networks that mimics the form of the numerical solution obtained from an approximate variational or weak formulation of the problem. The application of these ideas to a generic elliptic PDE leads to a variationally mimetic operator network (VarMiON). Like the conventional Deep Operator Network (DeepONet) the VarMiON is also composed of a sub-network that constructs the basis functions for the output and another that constructs the coefficients for these basis functions. However, in contrast to the DeepONet, the architecture of these sub-networks in the VarMiON is precisely determined. An analysis of the error in the VarMiON solution reveals that it contains contributions from the error in the training data, the training error, the quadrature error in sampling input and output functions, and a "covering error" that measures the distance between the test input functions and the nearest functions in the training dataset. It also depends on the stability constants for the exact solution operator and its VarMiON approximation. The application of the VarMiON to a canonical elliptic PDE and a nonlinear PDE reveals that for approximately the same number of network parameters, on average the VarMiON incurs smaller errors than a standard DeepONet and a recently proposed multiple-input operator network (MIONet). Further, its performance is more robust to variations in input functions, the techniques used to sample the input and output functions, the techniques used to construct the basis functions, and the number of input functions.
• Abstract（参考訳）: 近年、演算子ネットワークは偏微分方程式(PDE)の解を近似するための有望なディープラーニングツールとして出現している。 これらのネットワークは、材料特性を記述する入力関数をマッピングし、関数と境界データをpdeの解に強制する。 本稿では,問題の近似変分あるいは弱定式化から得られる数値解の形を模倣した,演算子ネットワークのための新しいアーキテクチャについて述べる。 これらのアイデアの汎用楕円型PDEへの応用は、変動緩和作用素ネットワーク(VarMiON)につながる。 従来のDeep Operator Network(DeepONet)と同様に、VarMiONは出力の基底関数を構成するサブネットワークと、これらの基底関数の係数を構成するサブネットワークで構成されている。 しかし、DeepONetとは対照的に、VarMiONにおけるこれらのサブネットワークのアーキテクチャは正確に決定されている。 VarMiONソリューションにおけるエラーの分析では、トレーニングデータにおけるエラー、トレーニングエラー、入力および出力関数における二次誤差、およびトレーニングデータセットにおけるテスト入力関数と最も近い関数の間の距離を測定する"カバレッジエラー"が含まれていることが明らかになった。 また、正確な解作用素とそのVarMiON近似の安定性定数にも依存する。 標準楕円型PDEと非線形PDEへのVarMiONの適用により、ほぼ同じ数のネットワークパラメータに対して、VarMiONは標準のDeepONetや最近提案されたマルチインプット演算子ネットワーク(MIONet)よりも誤差が小さいことが明らかになった。 さらに、その性能は、入力関数のバリエーション、入力関数と出力関数をサンプリングするのに使用される技術、基本関数を構築するのに使用される技術、入力関数の数に対してより堅牢である。

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