論文の概要: Quantum geometric Wigner construction for $D(G)$ and braided racks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.11835v1
• Date: Tue, 16 Jul 2024 15:21:28 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-07-17 14:13:22.151125
• Title: Quantum geometric Wigner construction for $D(G)$ and braided racks
• Title（参考訳）: D(G)$とブレイドラックの量子幾何ウィグナー構成
• Authors: Shahn Majid, Leo Sean McCormack,
• Abstract要約: 有限群の量子双対 D(G)=Bbb C(G)rtimes Bbb C G$ は量子コンピューティングの北エフモデルにおいて重要な役割を果たす。 我々は、そのモデルの準粒子である既知構成を、Bbb R1,3$の通常のポアンカー群に対するウィグナー構成と厳密に類似した幾何学的方法で解釈する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The quantum double $D(G)=\Bbb C(G)\rtimes \Bbb C G$ of a finite group plays an important role in the Kitaev model for quantum computing, as well as in associated TQFT's, as a kind of Poincar\'e group. We interpret the known construction of its irreps, which are quasiparticles for the model, in a geometric manner strictly analogous to the Wigner construction for the usual Poincar\'e group of $\Bbb R^{1,3}$. Irreps are labelled by pairs $(C, \pi)$, where $C$ is a conjugacy class in the role of a mass-shell, and $\pi$ is a representation of the isotropy group $C_G$ in the role of spin. The geometric picture entails $D^\vee(G)\to \Bbb C(C_G)\blacktriangleright\!\!\!\!< \Bbb C G$ as a quantum homogeneous bundle where the base is $G/C_G$, and $D^\vee(G)\to \Bbb C(G)$ as another homogeneous bundle where the base is the group algebra $\Bbb C G$ as noncommutative spacetime. Analysis of the latter leads to a duality whereby the differential calculus and solutions of the wave equation on $\Bbb C G$ are governed by irreps and conjugacy classes of $G$ respectively, while the same picture on $\Bbb C(G)$ is governed by the reversed data. Quasiparticles as irreps of $D(G)$ also turn out to classify irreducible bicovariant differential structures $\Omega^1_{C, \pi}$ on $D^\vee(G)$ and these in turn correspond to braided-Lie algebras $\mathcal{L}_{C, \pi}$ in the braided category of $G$-crossed modules, which we call `braided racks' and study. We show under mild assumptions that $U(\mathcal{L}_{C,\pi})$ quotients to a braided Hopf algebra $B_{C,\pi}$ related by transmutation to a coquasitriangular Hopf algebra $H_{C,\pi}$.
• Abstract（参考訳）: 有限群の量子double $D(G)=\Bbb C(G)\rtimes \Bbb C G$は、量子コンピューティングの北エフモデルにおいて重要な役割を果たす。 我々は、モデルの準粒子である既知構成を、$\Bbb R^{1,3}$ の通常の Poincar\'e 群に対するウィグナー構成に厳密に類似した幾何学的方法で解釈する。 例えば、$C$ は質量殻の役割における共役類であり、$\pi$ はスピンの役割における等方群 $C_G$ の表現である。 D^\vee(G)\to \Bbb C(C_G)\blacktriangleright\! あー! あー! あー! < \Bbb C G$ は基底が$G/C_G$ で、$D^\vee(G)\to \Bbb C(G)$ は基底が群代数 $\Bbb C G$ を非可換時空とする別の同次バンドルである。 後者の分析は、$\Bbb C G$上の微分積分と解がそれぞれ$G$の既約類と共役類によって支配され、$\Bbb C(G)$上の同じ図は逆のデータによって支配される双対性をもたらす。 D(G)$ の既約として準粒子は、既約双共変微分構造 $\Omega^1_{C, \pi}$ on $D^\vee(G)$ を分類し、これらは、'braided racks' と呼ばれる$G$-crossed module のブレイド圏におけるブレイド-リー代数 $\mathcal{L}_{C, \pi}$ に対応する。 穏やかな仮定では、$U(\mathcal{L}_{C,\pi})$ はブレイドホップ代数 $B_{C,\pi}$ の商であり、同相三角ホップ代数 $H_{C,\pi}$ への変換によって関連付けられる。

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