論文の概要: The Hurwitz-Hopf Map and Harmonic Wave Functions for Integer and
Half-Integer Angular Momentum
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.10775v2
- Date: Thu, 8 Jun 2023 01:07:21 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-09 20:09:35.375760
- Title: The Hurwitz-Hopf Map and Harmonic Wave Functions for Integer and
Half-Integer Angular Momentum
- Title(参考訳): 整数および半整数角運動量に対するハーヴィッツ・ホップ写像と調和波関数
- Authors: Sergio A. Hojman, Eduardo Nahmad-Achar, and Adolfo
S\'anchez-Valenzuela
- Abstract要約: 整数と半整数の角運動量に対する調和波動関数は、$SO(3)$ の回転を定義する角度 $(theta,phi,psi)$ で与えられる。
電子スピンを考慮に入れた水素原子に対する新しい非相対論的量子(Schr"odinger-like)方程式が導入された。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Harmonic wave functions for integer and half-integer angular momentum are
given in terms of the Euler angles $(\theta,\phi,\psi)$ that define a rotation
in $SO(3)$, and the Euclidean norm in ${\mathbb R}^3$. Following a classical
work by Schwinger, $2$-dimensional harmonic oscillators are used to produce
raising and lowering operators that change the total angular momentum
eigenvalue of the wave functions in half units. The nature of the
representation space $\mathcal H$ is approached from the double covering group
homomorphism $SU(2)\to SO(3)$ and the topology involved is taken care of by
using the Hurwitz-Hopf map $H:{\mathbb R}^4\to{\mathbb R}^3$. It is shown how
to reconsider $H$ as a 2-to-1 group map, $G_0={\mathbb R}^+\times SU(2)\to
{\mathbb R}^+\times SO(3)$, translating it into an assignment $(z_1,z_2)\mapsto
(r,\theta,\phi,\psi)$ whose domain consists of pairs $(z_1,z_2)$ of complex
variables. It is shown how the Lie algebra of $G_0$ is coupled with two
Heisenberg Lie algebras of $2$-dimensional (Schwinger's) harmonic oscillators
generated by the operators $\{z_1,z_2,\bar{z}_1,\bar{z}_2\}$ and their
adjoints. The whole set of operators gets algebraically closed either into a
$13$-dimensional Lie algebra or into a $(4|8)$-dimensional Lie superalgebra.
The wave functions in $\mathcal H$ can be written in terms of polynomials in
the complex coordinates $(z_1,z_2)$ and their complex conjugates, and the
representations are explicitly constructed via the various highest weight (or
lowest weight) vector representations of $G_0$. A new non-relativistic quantum
(Schr\"odinger-like) equation for the hydrogen atom that takes into account the
electron spin is introduced and expressed in terms of $(r,\theta,\phi,\psi)$
and the time $t$. The equation may be solved exactly in terms of the harmonic
wave functions hereby introduced.
- Abstract(参考訳): 整数および半整数角運動量に対する調和波関数は、回転を$so(3)$で定義するオイラー角$(\theta,\phi,\psi)$と、${\mathbb r}^3$のユークリッドノルムによって与えられる。
シュウィンガーの古典的な研究に続いて、2ドルの高調波発振器は半単位の波動関数の角運動量固有値を変化させる昇降作用素を生成するために用いられる。
表現空間 $\mathcal h$ の性質は二重被覆群準同型 $su(2)\to so(3)$ から接近し、関連する位相は hurwitz-hopf map $h:{\mathbb r}^4\to{\mathbb r}^3$ を用いて扱う。
G_0={\mathbb R}^+\times SU(2)\to {\mathbb R}^+\times SO(3)$ を代入 $(z_1,z_2)mapsto (r,\theta,\phi,\psi)$ に変換し、その領域は $(z_1,z_2)$ の複素変数からなる。
G_0$ のリー代数は、作用素 $\{z_1,z_2,\bar{z}_1,\bar{z}_2\}$ とそれらの随伴子によって生成される2$次元(シュウィンガーの)調和振動子のハイゼンベルクリー代数とどのように結合するかを示す。
作用素全体の集合は、13$次元リー代数または$(4|8)$次元リー超代数に代数的に閉じる。
$\mathcal H$ の波動関数は複素座標 $(z_1,z_2)$ とその複素共役の多項式の項で記述することができ、表現は G_0$ の様々な最高重量(または最低重量)ベクトル表現を通して明示的に構成される。
電子スピンを考慮に入れた水素原子に対する新しい非相対論的量子(Schr\"odinger-like")方程式を導入し、$(r,\theta,\phi,\psi)$と時間$t$で表す。
この方程式は、導入された調和波動関数の観点から正確に解くことができる。
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