論文の概要: A hybrid FEM-PINN method for time-dependent partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.02810v1
• Date: Wed, 4 Sep 2024 15:28:25 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-05 17:30:00.624292
• Title: A hybrid FEM-PINN method for time-dependent partial differential equations
• Title（参考訳）: 時間依存偏微分方程式に対するハイブリッドFEM-PINN法
• Authors: Xiaodong Feng, Haojiong Shangguan, Tao Tang, Xiaoliang Wan, Tao Zhou,
• Abstract要約: 本稿では、時間有限要素法とディープニューラルネットワークを融合させることにより、進化微分方程式(PDE)を解くためのハイブリッド数値計算法を提案する。 このようなハイブリッドな定式化の利点は2つある: 統計誤差は時間方向の積分に対して回避され、ニューラルネットワークの出力は縮小された空間基底関数の集合と見なすことができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.631238071993282
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this work, we present a hybrid numerical method for solving evolution partial differential equations (PDEs) by merging the time finite element method with deep neural networks. In contrast to the conventional deep learning-based formulation where the neural network is defined on a spatiotemporal domain, our methodology utilizes finite element basis functions in the time direction where the space-dependent coefficients are defined as the output of a neural network. We then apply the Galerkin or collocation projection in the time direction to obtain a system of PDEs for the space-dependent coefficients which is approximated in the framework of PINN. The advantages of such a hybrid formulation are twofold: statistical errors are avoided for the integral in the time direction, and the neural network's output can be regarded as a set of reduced spatial basis functions. To further alleviate the difficulties from high dimensionality and low regularity, we have developed an adaptive sampling strategy that refines the training set. More specifically, we use an explicit density model to approximate the distribution induced by the PDE residual and then augment the training set with new time-dependent random samples given by the learned density model. The effectiveness and efficiency of our proposed method have been demonstrated through a series of numerical experiments.
• Abstract（参考訳）: 本研究では、時間有限要素法とディープニューラルネットワークを融合させることにより、進化偏微分方程式(PDE)を解くためのハイブリッド数値法を提案する。 本研究では,空間依存係数がニューラルネットワークの出力として定義される時間方向の有限要素基底関数を利用する。 次に、時間方向のガレルキンもしくはコロケーションプロジェクションを適用し、PINNの枠組みで近似された空間依存係数に対するPDEのシステムを得る。 このようなハイブリッドな定式化の利点は2つある: 統計誤差は時間方向の積分に対して回避され、ニューラルネットワークの出力は縮小された空間基底関数の集合と見なすことができる。 本研究は,高次元・低規則性の難しさを緩和するため,トレーニングセットを洗練させる適応型サンプリング戦略を開発した。 より具体的には,PDE残差による分布を近似するために明示的な密度モデルを用い,学習された密度モデルによって与えられる新しい時間依存ランダムサンプルを用いてトレーニングセットを増強する。 提案手法の有効性と有効性は, 一連の数値実験により実証された。

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