論文の概要: Variational formulation based on duality to solve partial differential equations: Use of B-splines and machine learning approximants

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.01232v1
• Date: Mon, 02 Dec 2024 07:53:47 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-04 15:40:54.812704
• Title: Variational formulation based on duality to solve partial differential equations: Use of B-splines and machine learning approximants
• Title（参考訳）: 偏微分方程式を解くための双対性に基づく変分定式化:B-スプラインと機械学習近似を用いた
• Authors: N. Sukumar, Amit Acharya,
• Abstract要約: 流体力学における偏微分方程式(PDE)、固体における非弾性変形、過渡放物型方程式および双曲型方程式は、正確な原始的変動構造を持たない。 与えられたPDEを制約として扱うために、双対(ラグランジュ乗算器)場に基づく変分原理が提案された。 双対汎函数の最初の変項の消滅は、双対体上のディリクレ境界条件まで、原始PDE問題の弱形式である。 線形, 一次元, 過渡対流拡散方程式の二重弱形式を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Many partial differential equations (PDEs) such as Navier--Stokes equations in fluid mechanics, inelastic deformation in solids, and transient parabolic and hyperbolic equations do not have an exact, primal variational structure. Recently, a variational principle based on the dual (Lagrange multiplier) field was proposed. The essential idea in this approach is to treat the given PDE as constraints, and to invoke an arbitrarily chosen auxiliary potential with strong convexity properties to be optimized. This leads to requiring a convex dual functional to be minimized subject to Dirichlet boundary conditions on dual variables, with the guarantee that even PDEs that do not possess a variational structure in primal form can be solved via a variational principle. The vanishing of the first variation of the dual functional is, up to Dirichlet boundary conditions on dual fields, the weak form of the primal PDE problem with the dual-to-primal change of variables incorporated. We derive the dual weak form for the linear, one-dimensional, transient convection-diffusion equation. A Galerkin discretization is used to obtain the discrete equations, with the trial and test functions chosen as linear combination of either RePU activation functions (shallow neural network) or B-spline basis functions; the corresponding stiffness matrix is symmetric. For transient problems, a space-time Galerkin implementation is used with tensor-product B-splines as approximating functions. Numerical results are presented for the steady-state and transient convection-diffusion equation, and transient heat conduction. The proposed method delivers sound accuracy for ODEs and PDEs and rates of convergence are established in the $L^2$ norm and $H^1$ seminorm for the steady-state convection-diffusion problem.
• Abstract（参考訳）: 流体力学におけるナビエ-ストークス方程式、固体における非弾性変形、過渡放物型方程式や双曲型方程式のような多くの偏微分方程式(PDE)は、正確な原始的変動構造を持っていない。 近年、双対(ラグランジュ乗算器)場に基づく変分原理が提案されている。 このアプローチの基本的な考え方は、与えられたPDEを制約として扱い、最適化される強い凸性を持つ任意の選択された補助ポテンシャルを呼び出すことである。 これにより、双対変数上のディリクレ境界条件を最小化するために凸双対汎函数が必要となり、原始形式において変分構造を持たない PDE でさえ変分原理によって解けることが保証される。 双対汎函数の最初の変項の消滅は、双対体上のディリクレ境界条件(英語版)(Dirichlet boundary conditions)において、変数の双対極小変化を伴う原始PDE問題の弱形式である。 線形, 一次元, 過渡対流拡散方程式の二重弱形式を導出する。 ガレルキン離散化は離散方程式を得るために用いられ、試行と試験関数はRePU活性化関数(浅層ニューラルネットワーク)またはB-スプライン基底関数の線形結合として選択され、対応する剛性行列は対称である。 過渡問題に対して、時空ガレルキン実装はテンソル積 B-スプラインを近似関数として用いる。 定常・過渡対流拡散方程式と過渡熱伝導について数値計算を行った。 提案手法は, 定常対流拡散問題に対して, L^2$ノルムと H^1$半ノルムにおいて, ODE と PDE の音響精度と収束率を確立した。

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