論文の概要: A Constructive Approach to Zauner's Conjecture via the Stark Conjectures

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.03970v2
• Date: Mon, 17 Mar 2025 12:35:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-18 21:00:50.999593
• Title: A Constructive Approach to Zauner's Conjecture via the Stark Conjectures
• Title（参考訳）: スターク・コンジェクチャによるザウナーのコンジェクチャへの構成的アプローチ
• Authors: Marcus Appleby, Steven T Flammia, Gene S Kopp,
• Abstract要約: 複素等角線の構成を$mathbbCd$(SICPOVMsとしても知られる)に与え、Zauner がすべての d に対して存在を予想する。 この構成は、すべての次元 d > 3 においてワイル=ハイゼンベルク対称性を持つ SIC の仮定的に完備なリストを与える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: We propose a construction of $d^2$ complex equiangular lines in $\mathbb{C}^d$, also known as SICPOVMs, conjectured by Zauner to exist for all d. The construction gives a putatively complete list of SICs with Weyl-Heisenberg symmetry in all dimensions d > 3. Specifically, we give an explicit expression for an object we call a ghost SIC, which is constructed from the real multiplication values of a special function and which is Galois conjugate to a SIC. The special function, the Shintani-Faddeev modular cocycle, is more precisely a tuple of meromorphic functions indexed by a congruence subgroup of ${\rm SL}_2(\mathbb{Z})$. We prove our construction gives a valid SIC in every case assuming two conjectures: the order 1 abelian Stark conjecture for real quadratic fields and a special value identity for the Shintani-Faddeev modular cocycle. The former allows us to prove that the ghost and the SIC are Galois conjugate over an extension of $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$ where $\Delta = (d+1)(d-3)$, while the latter allows us to prove idempotency of the presumptive fiducial projector. We provide computational tests of our SIC construction by cross-validating it with known solutions, particularly the extensive work of Scott and Grassl, and by constructing four numerical examples of nonequivalent SICs in d=100, three of which are new. We further consider rank-r generalizations called r-SICs given by maximal equichordal configurations of r-dimensional complex subspaces. We give similar conditional constructions for r-SICs for all r, d such that r(d-r) divides $(d^2-1)$. Finally, we study the structure of the field extensions conjecturally generated by the r-SICs. If K is any real quadratic field, then either every abelian Galois extension of K, or else every abelian extension for which 2 is unramified, is generated by our construction; the former holds for a positive density of field discriminants.
• Abstract（参考訳）: 我々は、$\mathbb{C}^d$(SICPOVMsとしても知られる)における$d^2$複素等角線の構成を提案する。 この構成は、すべての次元 d > 3 においてワイル=ハイゼンベルク対称性を持つ SIC の仮定的に完備なリストを与える。 具体的には、特殊関数の実際の乗算値から構築され、ガロアがSICに共役するゴーストSICと呼ばれる対象に対して明示的な表現を与える。 特別な函数である新谷-ファデエフモジュラー共サイクルはより正確には、${\rm SL}_2(\mathbb{Z})$ の合同部分群によって指数付けられた正則函数のタプルである。 実二次体に対する位数 1 アーベルスターク予想と、新谷・ファデエフモジュラー共サイクルに対する特別な値恒等式である。 前者はゴーストと SIC が $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$ の拡張上のガロア共役であることを証明できるが、後者は先入観的ファイバープロジェクターの等長性を証明することができる。 我々は、既知の解、特にスコットとグラスルの広範な研究を交互に検証し、d=100の非等価なSICの4つの数値例を構築することで、SICの構成の計算テストを提供する。 さらに、 r-次元複素部分空間の最大等角配置によって与えられる r-SIC と呼ばれるランク-r の一般化を考える。 すべての r, d に対して、r(d-r) が $(d^2-1)$ を割り切るような条件構成を与える。 最後に,r-SICs が生成する場拡大構造について検討する。 K が実二次体であれば、K の任意のアーベルガロワ拡大、または 2 が非有理化であるすべてのアーベル拡大は、我々の構成によって生成される。

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