論文の概要: Spherical dimension

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.10240v1
• Date: Thu, 13 Mar 2025 10:32:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-14 21:36:22.627762
• Title: Spherical dimension
• Title（参考訳）: 球次元
• Abstract要約: 球次元はVC次元の自然な緩和である。 球次元はボルスク・ウラムの定理と関連する位相ツールを利用するための共通基盤となる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 15.07787640047213
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: We introduce and study the spherical dimension, a natural topological relaxation of the VC dimension that unifies several results in learning theory where topology plays a key role in the proofs. The spherical dimension is defined by extending the set of realizable datasets (used to define the VC dimension) to the continuous space of realizable distributions. In this space, a shattered set of size d (in the VC sense) is completed into a continuous object, specifically a d-dimensional sphere of realizable distributions. The spherical dimension is then defined as the dimension of the largest sphere in this space. Thus, the spherical dimension is at least the VC dimension. The spherical dimension serves as a common foundation for leveraging the Borsuk-Ulam theorem and related topological tools. We demonstrate the utility of the spherical dimension in diverse applications, including disambiguations of partial concept classes, reductions from classification to stochastic convex optimization, stability and replicability, and sample compression schemes. Perhaps surprisingly, we show that the open question posed by Alon, Hanneke, Holzman, and Moran (FOCS 2021) of whether there exist non-trivial disambiguations for halfspaces with margin is equivalent to the basic open question of whether the VC and spherical dimensions are finite together.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,その証明において位相が重要な役割を果たす学習理論において,VC次元の自然なトポロジ的緩和である球面次元を紹介し,研究する。 球次元は、(VC次元を定義するために使用される)実現可能なデータセットの集合を、実現可能な分布の連続空間に拡張することによって定義される。 この空間では、(VC の意味で)大きさ d の破砕された集合が連続対象、具体的には実現可能な分布の d-次元球面に完備化される。 球面次元は、この空間における最大の球面の次元として定義される。 したがって、球次元は少なくともVC次元である。 球次元はボルスク・ウラムの定理と関連する位相ツールを利用するための共通基盤となる。 本稿では,部分概念クラスの曖昧さ,分類から確率凸最適化への削減,安定性と再現性,サンプル圧縮スキームなど,多種多様な応用における球面次元の有用性を実証する。 意外なことに、Alon, Hanneke, Holzman, Moran (FOCS 2021) によるハーフスペースに対する非自明な曖昧さは、VCと球面次元が共に有限であるかどうかという基本的なオープンな問題と同値である。

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