論文の概要: Stable homotopy theory of invertible gapped quantum spin systems I: Kitaev's $Ω$-spectrum

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.12618v1
• Date: Sun, 16 Mar 2025 19:21:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-18 15:58:37.597141
• Title: Stable homotopy theory of invertible gapped quantum spin systems I: Kitaev's $Ω$-spectrum
• Title（参考訳）: 可逆ギャップ量子スピン系の安定ホモトピー理論 I:Kitaevの$Ω$-spectrum
• Authors: Yosuke Kubota,
• Abstract要約: 無限量子スピン系の作用素-代数的定式化に基づいて、北エフの提案を実現する。 我々は、ユークリッド空間の任意の部分空間上に置かれる量子系の空間という観点から、$Omega$-spectrum $mathitIP_*$と関連するホモロジー理論のモデルを開発する。 結晶群$Gamma$で与えられる空間対称性を組み込んで、$Omega$-spectrum $mathitIP_*Gamma$ of $を定義する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: We provide a mathematical realization of a proposal by Kitaev, on the basis of the operator-algebraic formulation of infinite quantum spin systems. Our main results are threefold. First, we construct an $\Omega$-spectrum $\mathit{IP}_*$ whose homotopy groups are isomorphic to the smooth homotopy group of invertible gapped quantum systems on Euclidean spaces. Second, we develop a model for the homology theory associated with the $\Omega$-spectrum $\mathit{IP}_*$, describing it in terms of the space of quantum systems placed on an arbitrary subspace of a Euclidean space. This involves introducing the concept of localization flow, a semi-infinite path of quantum systems with decaying interaction range, inspired by Yu's localization C*-algebra in coarse index theory. Third, we incorporate spatial symmetries given by a crystallographic group $\Gamma $ and define the $\Omega$-spectrum $\mathit{IP}_*^\Gamma$ of $\Gamma$-invariant invertible phases. We propose a strategy for computing the homotopy group $\pi_n(\mathit{IP}_d^\Gamma )$ that uses the Davis--L\"{u}ck assembly map and its description by invertible gapped localization flow. In particular, we show that the assembly map is split injective, and hence $\pi_n(\mathit{IP}_d^\Gamma)$ contains a computable direct summand.
• Abstract（参考訳）: 無限量子スピン系の作用素-代数的定式化に基づいて、北エフの提案を数学的に実現する。 私たちの主な成果は3倍です。 まず、ユークリッド空間上の可逆ギャップ量子系の滑らかなホモトピー群に同型な$\Omega$-spectrum $\mathit{IP}_*$を構築する。 第二に、ユークリッド空間の任意の部分空間上に置かれる量子系の空間を記述して、$\Omega$-spectrum $\mathit{IP}_*$ に付随するホモロジー理論のモデルを開発する。 これは、粗い指数論におけるユの局在 C*-代数にインスパイアされた、崩壊する相互作用範囲を持つ量子系の半無限経路であるローカライゼーションフローの概念の導入を含む。 第三に、結晶群 $\Gamma $ によって与えられる空間対称性を取り入れ、$\Omega$-spectrum $\mathit{IP}_*^\Gamma$ of $\Gamma$-不変可逆位相を定義する。 ホモトピー群 $\pi_n(\mathit{IP}_d^\Gamma )$ を Davis--L\"{u}ck アセンブリマップを用いて計算し、その記述を可逆なギャップ付き局所化フローで表現する戦略を提案する。 特に、集合写像が単射であることを示し、従って$\pi_n(\mathit{IP}_d^\Gamma)$ は計算可能な直和を含む。

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