論文の概要: Quantum mechanics of inverted potential well -- Hermitian Hamiltonian with imaginary eigenvalues, quantum-classical correspondence
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2505.00475v1
- Date: Thu, 01 May 2025 11:59:33 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-05-02 19:15:55.292553
- Title: Quantum mechanics of inverted potential well -- Hermitian Hamiltonian with imaginary eigenvalues, quantum-classical correspondence
- Title（参考訳）: 逆ポテンシャル井戸の量子力学 --虚固有値、量子古典対応を持つエルミート・ハミルトン
- Authors: Ni Liu, J. -Q.,
- Abstract要約: 逆ポテンシャル井戸における粒子の量子化について検討する。
ハミルトニアンはエルミートであり、ポテンシャルは下界を持たない。
量子古典対応は虚固有値系に存在する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We in this paper study the quantization of a particle in an inverted potential well. The Hamiltonian is Hermitian, while the potential is unbounded below. Classically the particle moves away acceleratingly from the center of potential top. The existing eigenstates must be unstable with imaginary eigenvalues, which characterize the decay rate of states. We solve the Hamiltonian problem of inverted potential well by the algebraic method with imaginary-frequency raising and lowering boson operators similar to the normal oscillator case. The boson number operator is non-Hermitian, while the integer-number eigenvalues are, of course, real. Dual sets of eigenstates, denoted by "bra" and "ket", are requested corresponding respectively to the complex conjugate number-operators. Orthonormal condition exists between the "bra" and "ket" states. We derive a spatially non-localized generating function, from which $n$-th eigenfunctions can be generated by the raising operators in coordinate representation. The "bra" and "ket" generating functions are mutually normalized with the imaginary integration measure. The probability density operators defined between the "bra" and "ket" states are non-Hermitian invariants, which lead to the Schr\H{o}dinger equations respectively for the "bra" and "ket" states. While probabilities of "bra" and "ket" states themselves are not conserved quantities because of the decay. The imaginary-frequency boson coherent states are defined as eigenstates of lowering operators. The minimum uncertainty relation is proved explicitly in the coherent states. Finally the probability average of Heisenberg equation in the coherent states is shown precisely in agreement with the classical equation of motion. The quantum-classical correspondence exists in the imaginary eigenvalue system.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,逆ポテンシャル井戸における粒子の量子化について検討する。
ハミルトニアンはエルミートであり、ポテンシャルは下界を持たない。
古典的には、粒子はポテンシャルトップの中心から加速的に移動している。
既存の固有状態は、状態の崩壊率を特徴づける想像的固有値で不安定でなければならない。
正規振動子の場合と同様の虚数周波数の昇降ボソン作用素を持つ代数的手法により、逆ポテンシャルのハミルトン的問題を解く。
ボソン数作用素は非エルミートであり、整数数固有値は、もちろん実数である。
複素共役数演算子に対して、"bra" と "ket" で表される固有状態の双対集合がそれぞれ要求される。
オルソノーマル状態は「ブラ」状態と「ケット」状態の間に存在する。
我々は空間的に非局所化生成関数を導出し、そこから座標表現における昇降作用素により$n$-th固有関数を生成できる。
ブラ」と「ケット」の生成関数は、虚数積分測度と相互に正規化される。
ブラ」状態と「ケット」状態の間で定義される確率密度作用素は非エルミート不変量であり、それぞれ「ブラ」状態と「ケット」状態に対してシュルヒH{o}ディンガー方程式が導かれる。
ブラ」と「ケット」の確率は、それ自体は崩壊のため保存されていない。
虚周波数ボソンコヒーレント状態は、下降作用素の固有状態として定義される。
最小の不確実性関係は、コヒーレント状態において明示的に証明される。
最後に、コヒーレント状態におけるハイゼンベルク方程式の確率平均は古典的な運動方程式と正確に一致する。
量子古典対応は虚固有値系に存在する。
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