論文の概要: Applications and Manipulations of Physics-Informed Neural Networks in Solving Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.19522v1
- Date: Sat, 19 Jul 2025 03:39:49 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-29 16:23:55.464882
- Title: Applications and Manipulations of Physics-Informed Neural Networks in Solving Differential Equations
- Title(参考訳): 微分方程式の解法における物理インフォームドニューラルネットワークの応用と操作
- Authors: Aarush Gupta, Kendric Hsu, Syna Mathod,
- Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は,前方および逆問題の両方を解くことができる。
PINNは、トレーニングセット境界外のモデル性能を改善するために、コスト関数にデータに関する事前解析情報を注入する。
まず線形モデルと二次モデルから始まり、熱方程式や他の複素微分方程式のモデルに適合するように拡張する。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Mathematical models in neural networks are powerful tools for solving complex differential equations and optimizing their parameters; that is, solving the forward and inverse problems, respectively. A forward problem predicts the output of a network for a given input by optimizing weights and biases. An inverse problem finds equation parameters or coefficients that effectively model the data. A Physics-Informed Neural Network (PINN) can solve both problems. PINNs inject prior analytical information about the data into the cost function to improve model performance outside the training set boundaries. This also allows PINNs to efficiently solve problems with sparse data without overfitting by extrapolating the model to fit larger trends in the data. The prior information we implement is in the form of differential equations. Residuals are the differences between the left-hand and right-hand sides of corresponding differential equations; PINNs minimize these residuals to effectively solve the differential equation and take advantage of prior knowledge. In this way, the solution and parameters are embedded into the loss function and optimized, allowing both the weights of the neural network and the model parameters to be found simultaneously, solving both the forward and inverse problems in the process. In this paper, we will create PINNs with residuals of varying complexity, beginning with linear and quadratic models and then expanding to fit models for the heat equation and other complex differential equations. We will mainly use Python as the computing language, using the PyTorch library to aid us in our research.
- Abstract(参考訳): ニューラルネットワークの数学的モデルは、複雑な微分方程式を解き、それらのパラメータを最適化するための強力なツールである。
フォワード問題は、重みとバイアスを最適化することにより、与えられた入力に対するネットワークの出力を予測する。
逆問題では、データを効果的にモデル化する方程式パラメータや係数が見つかる。
物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は両方の問題を解決することができる。
PINNは、トレーニングセット境界外のモデル性能を改善するために、コスト関数にデータに関する事前解析情報を注入する。
これにより、PINNは、データ内の大きなトレンドに合うようにモデルを外挿することで、過度に適合することなく、スパースデータの問題を効率的に解決できる。
私たちが実装した以前の情報は微分方程式の形式である。
残差は、対応する微分方程式の左辺と右辺の違いであり、PINNはこれらの残差を最小化し、微分方程式を効果的に解き、事前の知識を利用する。
このように、解とパラメータは損失関数に埋め込まれ、最適化され、ニューラルネットワークの重みとモデルパラメータの両方を同時に見つけることができ、プロセスの前方および逆問題の両方を解決することができる。
本稿では,線形および二次モデルから始まり,熱方程式や他の複素微分方程式に適合するモデルへと拡張する,様々な複雑性の残差を持つPINNを作成する。
主にPythonをコンピューティング言語として使用し、PyTorchライブラリを使って研究を支援します。
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