論文の概要: Numerical PDE solvers outperform neural PDE solvers
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.21269v1
- Date: Mon, 28 Jul 2025 18:50:37 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-30 17:08:55.176677
- Title: Numerical PDE solvers outperform neural PDE solvers
- Title(参考訳): 数値PDE解法はニューラルPDE解法より優れている
- Authors: Patrick Chatain, Michael Rizvi-Martel, Guillaume Rabusseau, Adam Oberman,
- Abstract要約: DeepFDMは時間依存偏微分方程式の空間的変動係数を学習するための有限差分フレームワークである。
安定度と一階収束度は CFL 準拠の係数パラメータ化によって決定される。
正規化された平均二乗誤差は、フーリエニューラル演算子、U-Nets、ResNetsよりも1~2桁小さい。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 5.303553599778495
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We present DeepFDM, a differentiable finite-difference framework for learning spatially varying coefficients in time-dependent partial differential equations (PDEs). By embedding a classical forward-Euler discretization into a convolutional architecture, DeepFDM enforces stability and first-order convergence via CFL-compliant coefficient parameterizations. Model weights correspond directly to PDE coefficients, yielding an interpretable inverse-problem formulation. We evaluate DeepFDM on a benchmark suite of scalar PDEs: advection, diffusion, advection-diffusion, reaction-diffusion and inhomogeneous Burgers' equations-in one, two and three spatial dimensions. In both in-distribution and out-of-distribution tests (quantified by the Hellinger distance between coefficient priors), DeepFDM attains normalized mean-squared errors one to two orders of magnitude smaller than Fourier Neural Operators, U-Nets and ResNets; requires 10-20X fewer training epochs; and uses 5-50X fewer parameters. Moreover, recovered coefficient fields accurately match ground-truth parameters. These results establish DeepFDM as a robust, efficient, and transparent baseline for data-driven solution and identification of parametric PDEs.
- Abstract(参考訳): 時間依存偏微分方程式(PDE)における空間的変動係数を学習するための微分可能な有限差分フレームワークであるDeepFDMを提案する。
古典的なフォワード・オイラーの離散化を畳み込み構造に埋め込むことにより、DeepFDMは安定性とCFL準拠の係数パラメータ化による一階収束を強制する。
モデルウェイトは直接PDE係数に対応し、解釈可能な逆プロブレムの定式化をもたらす。
In one, two, three space dimensions: advection, diffusion, advection-diffusion, reaction-diffusion and inhomogeneous Burgers' equations-in one, two and three space dimensions。
分布内および分布外テスト(係数前のヘリンジャー距離で定式化される)では、DeepFDMはフーリエニューラル演算子、U-Net、ResNetsよりも1~2桁小さい正規化平均二乗誤差を達成し、10~20倍のトレーニングエポックを必要とし、5~50倍のパラメータを使用する。
さらに, 復元された係数場は, 接地トラスパラメータと正確に一致した。
これらの結果は、データ駆動型ソリューションとパラメトリックPDEの同定のための、堅牢で効率的で透明なベースラインとしてDeepFDMを確立している。
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