論文の概要: Schrödingerization for quantum linear systems problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.13510v1
- Date: Tue, 19 Aug 2025 04:48:45 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-08-20 15:36:31.795651
- Title: Schrödingerization for quantum linear systems problems
- Title（参考訳）: 量子線型系問題に対するシュレーディンガー化
- Authors: Yin Yang, Yue Yu, Long Zhang,
- Abstract要約: 線形方程式 Ax=b の量子アルゴリズムをSchr"オーディンジェライゼーション-形式問題の観点から開発する。
A が正定値であるとき、解 x は線型ODE の定常解と解釈できる。
どちらの場合においても、解 x はシュリンガー化形式問題のLCHSとして表すことができ、あるいは同等にシュリンガー化形式問題の定常解として表すことができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.286367936340653
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: We develop a quantum algorithm for linear algebraic equations Ax=b from the perspective of Schr\"odingerization-form problems, which are characterized by a system of linear convection equations in one higher dimension. When A is positive definite, the solution x can be interpreted as the steady-state solution of linear ODEs. This ODE can be solved by using the LCHS method in [1], which serves as the continuous implementation of the Fourier transform in the Schr\"odingerization method from [2,3] Schr\"odingerization transforms linear PDEs and ODEs with non-unitary dynamics into Schr\"odinger-type systems via the warped phase transformation that maps the equation into one higher dimension. Compared to the LCHS method, Schr\"odingerization may be more appealing to the PDE community, as it is better suited for leveraging established computational PDE techniques to develop quantum algorithms. When A is a general Hermitian matrix, the inverse matrix can still be represented in the LCHS form in [1], but with a kernel function based on the Fourier approach in [4]. Although this LCHS form provides the steady-state solution of linear ODEs associated with the least-squares equation, applying Schr\"odingerization to this least-squares is not appropriate, as it results in a much larger condition number. We demonstrate that in both cases, the solution x can be expressed as the LCHS of Schr\"odingerization-form problems, or equivalently, as the steady-state solution to a Schr\"odingerization-form problem. This highlights the potential of Schr\"odingerization in quantum scientific computation. We provide a detailed, along with several numerical tests that validate the correctness of our proposed method. Furthermore, we develop a quantum preconditioning algorithm that combines the BPX multilevel preconditioner with our method to address the finite element discretization of the Poisson equation.
- Abstract（参考訳）: 線形代数方程式 Ax=b の量子アルゴリズムを,一次元の線形対流方程式系を特徴とするシュルンジェライゼーション形式問題の観点から開発する。
A が正定値であるとき、解 x は線型ODE の定常解と解釈できる。
このODEは、[2,3] Schr\\odingerization法から[2,3] Schr\odingerization法におけるフーリエ変換の連続的な実装として機能するLCHS法(英語版)を用いて、非ユニタリ力学を持つ線形PDEとODEを、この方程式を1つの高次元にマッピングするワープ位相変換(英語版)を通じて、Schr\odinger型システムへ変換する。
LCHS法と比較して、Shr\"odingerizationはPDEコミュニティにとってより魅力的であり、量子アルゴリズムを開発するために確立された計算PDE技術を利用するのに適している。
A が一般エルミート行列であるとき、逆行列は [1] の LCHS 形式でも表せるが、[4] のフーリエアプローチに基づくカーネル関数を持つ。
このLCHS形式は、最小二乗方程式に付随する線形ODEの定常解を提供するが、この最小二乗方程式にシュル・オジンゲライズを適用することは、はるかに大きな条件数をもたらすため適切ではない。
どちらの場合も、解 x はシュル・オジンジェライゼーション形式問題のLCHSとして表すことができ、あるいは同等に、シュル・オジンジェライゼーション形式問題の定常解として表すことができる。
これは量子科学計算における「シュル」オーディンジェライゼーションの可能性を強調している。
提案手法の正当性を検証した数値実験と合わせて, 詳細な結果を提供する。
さらに,ポアソン方程式の有限要素離散化に対処するため,BPXマルチレベルプリコンディショナーと我々の手法を組み合わせた量子プレコンディショニングアルゴリズムを開発した。
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