論文の概要: A Gauss-Bonnet Theorem for Quantum States: Gauss Curvature and Topology in the Projective Hilbert Space
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.15760v1
- Date: Fri, 17 Oct 2025 15:50:03 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-20 20:17:34.69166
- Title: A Gauss-Bonnet Theorem for Quantum States: Gauss Curvature and Topology in the Projective Hilbert Space
- Title（参考訳）: 量子状態のガウス・ボネット理論:射影ヒルベルト空間におけるガウス曲率と位相
- Authors: Shin-Ming Huang,
- Abstract要約: 固有射影子に基づくゲージ不変の定式化を用いてブロッホ帯域の量子計量の曲率を計算する。
ガウス曲率は正則領域上で一定であるが、多様体は必然的に特異点の閉曲線を発達させる。
フロントと符号付き領域形式の概念を導入することにより、折りたたみ曲線に沿って定義される特異曲率項を含む一般化されたガウス・ボネット関係を導出する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
- Abstract: Geometry and topology are fundamental to modern condensed matter physics, but their precise connection in quantum systems remains incompletely understood. Here, we develop an analytical scheme for calculating the curvature of the quantum metric of Bloch bands. Using a gauge-invariant formulation based on eigenprojectors, we construct the full Riemannian geometry of the quantum-state manifold and apply it to a two-dimensional two-band model. We find that the Gauss curvature is constant over regular regions, but the manifold inevitably develops a closed curve of singular points where the metric tensor degenerates. These singularities obstruct the conventional Gauss-Bonnet theorem. By introducing the notion of a front and a signed area form, we derive a generalized Gauss-Bonnet relation that includes a singular curvature term defined along the fold curve. This result establishes a direct, quantized link between the total signed Gauss curvature and the Chern number, providing a unified geometric interpretation of Berry curvature and quantum metric. This framework bridges differential geometry and topological band theory, revealing how singular folds mediate the discrepancy between quantum volume and topological charge.
- Abstract（参考訳）: 幾何学とトポロジーは現代の凝縮物質物理学の基礎であるが、量子系における正確な関係はいまだに完全に理解されていない。
そこで我々は,ブロッホ帯域の量子計量の曲率を計算するための解析手法を開発した。
固有射影子に基づくゲージ不変の定式化を用いて、量子状態多様体の全リーマン幾何学を構築し、2次元の2バンドモデルに適用する。
ガウス曲率は正則領域上で一定であるが、多様体は必然的に計量テンソルが退化する特異点の閉曲線を発達させる。
これらの特異点は従来のガウス・ボンネットの定理を妨げている。
フロントと符号付き領域形式の概念を導入することにより、折りたたみ曲線に沿って定義される特異曲率項を含む一般化されたガウス・ボネット関係を導出する。
この結果は、トータル符号付きガウス曲率とチャーン数との直接的な量子化リンクを確立し、ベリー曲率と量子計量の統一的な幾何学的解釈を与える。
この枠組みは微分幾何学とトポロジカルバンド理論を橋渡し、特異な折りたたみが量子体積とトポロジカル電荷の相違をどのように仲介するかを明らかにする。
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