論文の概要: Real Matrix Representations of Quantum Operators: An Introduction to Quantum Index Algebra

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.19977v1
• Date: Tue, 23 Dec 2025 01:58:02 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-24 19:17:49.709722
• Title: Real Matrix Representations of Quantum Operators: An Introduction to Quantum Index Algebra
• Title（参考訳）: 量子演算子の実行列表現:量子指数代数入門
• Authors: A. Yu. Volkov, G. A. Koroteev, Yu. S. Volkov,
• Abstract要約: ヒルベルト空間上の量子作用素を表現・操作するための有限な指数ベースの代数的フレームワークとして量子指数代数 (QIA) を導入する。 我々は、QIAがベルンシュタイン・ヴァジラニのアルゴリズムを正確に再現し、標準量子アルゴリズムと同じ複雑さと回路深さを達成することを示す。 この条件下での量子スピードアップはヒルベルト空間次元のみでなく作用素構造の結果であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We introduce Quantum Index Algebra (QIA) as a finite, index-based algebraic framework for representing and manipulating quantum operators on Hilbert spaces of dimension $2^m$. In QIA, operators are expressed as structured combinations of basis elements indexed by Boolean codes, allowing products, commutators, and conjugations to be computed through finite rules on discrete indices rather than through dense matrix arithmetic. This representation unifies combinatorial index structure, explicit matrix realization, and transformation properties under Walsh-Hadamard-type transforms within a single formalism. Using QIA and its associated block-matrix realization, we reformulate the Bernstein-Vazirani hidden-string problem in its phase-oracle form entirely within a real, finite-dimensional algebraic setting. We show that, under structured oracle access, the QIA procedure reproduces the Bernstein-Vazirani algorithm exactly and achieves the same asymptotic query complexity and circuit depth as the standard quantum algorithm. In particular, the hidden string is recovered by symbolic manipulation of a sparse algebraic representation of the oracle rather than by numerical simulation of quantum amplitudes. Our results demonstrate that the apparent quantum speed-up in this setting is a consequence of operator structure rather than Hilbert-space dimensionality alone. QIA thus provides a precise language for separating genuinely quantum resources from those arising from algebraic and combinatorial structures and offers a new perspective on the classical simulability of structured quantum circuits.
• Abstract（参考訳）: 次元2^m$のヒルベルト空間上で量子作用素を表現・操作するための有限な指数ベースの代数的フレームワークとして量子指数代数(QIA)を導入する。 QIAでは、作用素はブール符号でインデックス付けされた基底要素の構造化された組合せとして表現され、積、通勤者、共役は、密度行列の算術ではなく離散指標上の有限規則によって計算される。 この表現は、結合的指数構造、明示的行列実現、ウォルシュ・アダマール型変換の下での変換特性を単一の形式化の中で統一する。 QIAとその関連するブロック行列実現を用いて、バーンスタイン・ヴァジラニの隠れ弦問題を位相オークル形式に再構成し、実数、有限次元代数的設定で完全に構成する。 構造化されたオラクルアクセスにおいて、QIAプロシージャはベルンシュタイン・ヴァジラニアルゴリズムを正確に再現し、標準量子アルゴリズムと同じ漸近的なクエリ複雑性と回路深さを達成することを示す。 特に、隠れ文字列は量子振幅の数値シミュレーションによってではなく、オラクルのスパース代数的表現の記号的操作によって復元される。 この条件下での量子スピードアップはヒルベルト空間次元のみでなく作用素構造の結果であることを示す。 したがって、QIAは代数的および組合せ的構造から真に量子的資源を分離するための正確な言語を提供し、構造化された量子回路の古典的シミュラビリティに関する新しい視点を提供する。

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