論文の概要: Finite-dimensional Lie algebras in bosonic quantum dynamics: The single-mode case

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.06940v1
• Date: Mon, 10 Nov 2025 10:46:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-11 21:18:45.202109
• Title: Finite-dimensional Lie algebras in bosonic quantum dynamics: The single-mode case
• Title（参考訳）: ボゾン量子力学における有限次元リー代数:単一モードの場合
• Authors: Tim Heib, Andreea Silvia Goia, Sona Baghiyan, Robert Zeier, David Edward Bruschi,
• Abstract要約: 単モードおよび自己相互作用ボゾン系の量子力学において生じる有限次元リー代数の数学的性質を研究、分類、探索する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study, classify, and explore the mathematical properties of finite-dimensional Lie algebras occurring in the quantum dynamics of single-mode and self-interacting bosonic systems. These Lie algebras are contained in the real skew-hermitian Weyl algebra $\hat{A}_1$, defined as the real subalgebra of the Weyl algebra $A_1$ consisting of all skew-hermitian polynomials. A central aspect of our analysis is the choice of basis for $\hat{A}_1$, which is composed of skew-symmetric combinations of two elements of the Weyl algebra called monomials, namely strings of creation and annihilation operators combined with their hermitian conjugate. Motivated by the quest for analytical solutions in quantum optimal control and dynamics, we aim at answering the following three fundamental questions: (i) What are the finite-dimensional Lie subalgebras in $\hat{A}_1$ generated by monomials alone? (ii)~What are the finite-dimensional Lie subalgebras in $\hat{A}_1$ that contain the free Hamiltonian? (iii) What are the non-abelian and finite-dimensional Lie subalgebras that can be faithfully realized in $\hat{A}_1$? We answer the first question by providing all possible realizations of all finite-dimensional non-abelian Lie algebras that are generated by monomials alone. We answer the second question by proving that any non-abelian and finite-dimensional subalgebra of $\hat{A}_1$ that contains a free Hamiltonian term must be a subalgebra of the Schr\"odinger algebra. We partially answer the third question by classifying all nilpotent and non-solvable Lie algebras that can be realized in $\hat{A}_1$, and comment on the remaining cases. Finally, we also discuss the implications of our results for quantum control theory. Our work constitutes an important stepping stone to understanding quantum dynamics of bosonic systems in full generality.
• Abstract（参考訳）: 単モードおよび自己相互作用ボゾン系の量子力学において生じる有限次元リー代数の数学的性質を研究、分類、探索する。 これらのリー代数は、すべてのスキュー・エルミート多項式からなるワイル代数 $A_1$ の実部分代数として定義される実スキュー・エルミート的ワイル代数 $\hat{A}_1$ に含まれる。 解析の中心的な側面は、モノミアル (monomials) と呼ばれるワイル代数の2つの元、すなわち生成の列と消滅作用素とエルミート共役 (hermitian conjugate) のスキュー対称結合からなる$\hat{A}_1$の基底の選択である。 量子最適制御と力学における解析解の探求により、以下の3つの基本的な疑問に答えることを目指す。 (i)単項式だけで生成される$\hat{A}_1$の有限次元リー部分代数は何ですか。 (ii)~自由ハミルトニアンを含む$\hat{A}_1$の有限次元リー部分代数は何ですか。 (iii)$\hat{A}_1$で忠実に実現できる非アーベルおよび有限次元リー部分代数は何か。 単数のみによって生成されるすべての有限次元非アーベルリー代数の可能なすべての実現を提供することで、最初の疑問に答える。 自由ハミルトニアン項を含む$\hat{A}_1$の任意の非アーベル部分代数と有限次元部分代数がシュリンガー代数の部分代数でなければならないことを証明して、第二の疑問に答える。 3つ目の質問は、$\hat{A}_1$で実現可能なすべての零かつ非可解リー代数を分類し、残りのケースについてコメントすることで部分的に答える。 最後に、量子制御理論における結果の意味についても論じる。 我々の研究は、ボゾン系の量子力学を完全な一般性で理解するための重要なステップストーンを構成する。

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