論文の概要: A level-wise training scheme for learning neural multigrid smoothers with application to integral equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.01064v1
- Date: Sun, 01 Mar 2026 11:45:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-03 19:50:56.488919
- Title: A level-wise training scheme for learning neural multigrid smoothers with application to integral equations
- Title（参考訳）: ニューラル・マルチグリッド・スムーダ学習のためのレベルワイド学習法と積分方程式への応用
- Authors: Lingfeng Li, Yin King Chu, Raymond Chan, Justin Wan,
- Abstract要約: 畳み込み型積分方程式は一般に信号処理や画像処理で起こる。
本稿では,従来のスムースラーに代えて,学習したニューラル演算子を代替する新しいニューラル乗法を提案する。
従来のスムーダーとは異なり、これらのオペレータはオフラインでトレーニングされる。トレーニングが終わると、ニューラルスムーダーはリトレーニングなしで新しい右サイドベクターに一般化され、効率的な解法となる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5504341618778957
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Convolution-type integral equations commonly occur in signal processing and image processing. Discretizing these equations yields large and ill-conditioned linear systems. While the classic multigrid method is effective for solving linear systems derived from partial differential equations (PDE) problems, it fails to solve integral equations because its smoothers, which are implemented as conventional relaxation methods, are ineffective in reducing high-frequency components in the errors. We propose a novel neural multigrid scheme where learned neural operators replace classical smoothers. Unlike classical smoothers, these operators are trained offline. Once trained, the neural smoothers generalize to new right-hand-side vectors without retraining, making it an efficient solver. We design level-wise loss functions incorporating spectral filtering to emulate the multigrid frequency decomposition principle, ensuring each operator focuses on solving distinct high-frequency spectral bands. Although we focus on integral equations, the framework is generalizable to all kinds of problems, including PDE problems. Our experiments demonstrate superior efficiency over classical solvers and robust convergence across varying problem sizes and regularization weights.
- Abstract（参考訳）: 畳み込み型積分方程式は一般に信号処理や画像処理で起こる。
これらの方程式の離散化は、大きく、不条件の線形系をもたらす。
古典的多重グリッド法は偏微分方程式(PDE)問題から導かれる線形系を解くのに有効であるが, 従来の緩和法として実装されたスムーズ性は, 誤差の高周波成分の低減に有効ではないため, 積分方程式を解くのに失敗する。
本稿では,従来のスムースラーに代えて,学習したニューラル演算子を代替する新しいニューラル乗法を提案する。
古典的なスムーズな演算子とは異なり、これらの演算子はオフラインで訓練される。
トレーニングが完了すると、神経スムーダーはリトレーニングなしで新しい右手ベクトルに一般化され、効率的な解法となる。
スペクトルフィルタを取り入れたレベルワイド損失関数を設計し、マルチグリッド周波数分解原理をエミュレートする。
我々は積分方程式にフォーカスするが、このフレームワークはPDE問題を含むあらゆる種類の問題に一般化可能である。
本実験は,古典解法よりも優れた効率性を示し,様々な問題サイズと正規化重みにまたがる頑健な収束を示した。
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