論文の概要: Generalization Error Bounds for Picard-Type Operator Learning in Nonlinear Parabolic PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.10277v1
• Date: Mon, 11 May 2026 09:35:37 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-12 23:28:50.700826
• Title: Generalization Error Bounds for Picard-Type Operator Learning in Nonlinear Parabolic PDEs
• Title（参考訳）: 非線形パラボリックPDEにおけるピカード型演算子学習における一般化誤差境界
• Authors: Koichi Taniguchi, Sho Sonoda,
• Abstract要約: Duhamel-Picard 反復に基づく非線形放物型PDEの解演算子に対する演算子学習について検討した。 実装エラーを推定誤差から分離する実装非依存の一般化誤差境界を導出する。 我々は、連続する時間ブロック上で同じ学習されたローカルモデルをロールアウトすることで、分析を長期予測にまで拡張する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.175503577352742
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Operator learning for partial differential equations (PDEs) aims to learn solution operators on infinite-dimensional function spaces from finite-resolution data. In this setting, it is important for the learned model to be discretization-invariant, or resolution-robust, and to reflect PDE-specific structure. It is therefore natural to ask how such structure should be encoded in the model architecture, hypothesis class, or learning procedure. In this paper, we study operator learning for solution operators of nonlinear parabolic PDEs based on Duhamel--Picard iteration. We formulate Picard iteration as an abstract state-transition model and present a theoretical framework for Picard-type operator learning. We derive implementation-agnostic generalization error bounds that separate the implementation error from the estimation error associated with the abstract state-transition model induced by Picard iteration. A key consequence is that increasing the Picard depth reduces the Picard truncation error without causing an unbounded growth of the entropy-based estimation error. We also extend the analysis to long-time prediction by rolling out the same learned local model over successive time blocks. Finally, we illustrate the theory for nonlinear heat equations on the torus using a Picard-type Fourier neural operator as a concrete implementation.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)の演算子学習は、有限分解能データから無限次元関数空間上の解作用素を学習することを目的としている。 この設定では、学習モデルは離散化不変あるいは分解ロバストであり、PDE固有の構造を反映することが重要である。 したがって、そのような構造がモデルアーキテクチャや仮説クラス、学習手順にどのようにエンコードされるべきなのかを尋ねるのは自然なことです。 本稿では,Duhamel-Picard繰り返しに基づく非線形放物型PDEの解演算子に対する演算子学習について検討する。 我々は、Picardの反復を抽象状態遷移モデルとして定式化し、Picard型演算子学習の理論的枠組みを示す。 我々は,Picardの繰り返しによって誘導される抽象状態遷移モデルに付随する推定誤差から,実装エラーを分離する実装非依存の一般化誤差を導出する。 鍵となる結果として、ピカード深さの増大はエントロピーに基づく推定誤差の非有界成長を引き起こすことなくピカードのトランケーション誤差を減少させる。 また、連続する時間ブロック上で同じ学習されたローカルモデルをロールアウトすることで、解析を長期予測にまで拡張する。 最後に、ピカール型フーリエニューラル作用素を具体的実装として用いたトーラス上の非線形熱方程式の理論について述べる。

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