論文の概要: On the KAK Decomposition and Equivalence Classes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.10783v1
- Date: Mon, 11 May 2026 16:17:18 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-12 23:28:50.973833
- Title: On the KAK Decomposition and Equivalence Classes
- Title（参考訳）: KAK分解と等価クラスについて
- Authors: Dawei Ding, Yu Liu, Zi-Wen Liu,
- Abstract要約: 連結な半単純リー群に対する KAK 分解の理論を示し、$mathrmSU(4)$ の分解を導出する。
次に、KAK同値類、二重コセット同値、射影同値の2つの異なる概念を区別する。
我々の研究は、量子ゲートと回路の理論のための厳密なリー理論の基礎を確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.979384732290639
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The KAK decomposition is a fundamental tool in Lie theory and quantum computing. Despite its widespread use, the mathematical foundations remain incomplete, particularly regarding the precise conditions for the decomposition and the characterization of equivalence classes under multiplication by elements of $K$. Here, we present a mathematical theory of the KAK decomposition for connected compact semisimple Lie groups and derive the decomposition for $\mathrm{SU}(4)$. In particular, we clarify the relationship between various definitions of a Cartan decomposition in the literature and give a complete proof of a general KAK decomposition theorem. We then distinguish two distinct notions of KAK equivalence classes, double coset equivalence and projective equivalence, thereby addressing mathematical inconsistencies regarding KAK classification in the literature. Specifically, for $\mathrm{SU}(4)$, we show that local equivalence classes under multiplication by $\mathrm{SU}(2)\otimes \mathrm{SU}(2)$ are geometrically represented not by the usual "Weyl chamber" as claimed in the existing literature. Instead, the "Weyl chamber" is only recovered by the projective-local equivalence which disregards global phases. We develop a systematic theory for determining equivalence and uniqueness for both notions of equivalence. Our work establishes a rigorous Lie-theoretic foundation for the theory of quantum gates and circuits.
- Abstract（参考訳）: KAK分解はリー理論と量子コンピューティングの基本的な道具である。
広く使われているにもかかわらず、数学の基礎はいまだ不完全であり、特に分解の正確な条件と$K$の要素による乗法の下での同値クラスの特徴づけは不完全である。
ここでは、連結な半単純リー群に対する KAK 分解の数学的理論を示し、$\mathrm{SU}(4)$ の分解を導出する。
特に、文献におけるカルタン分解の様々な定義間の関係を明確にし、一般的なKAK分解定理の完全な証明を与える。
次に、KAK同値類、二重コセット同値類、射影同値類の2つの異なる概念を区別し、文学におけるKAK分類に関する数学的矛盾に対処する。
具体的には、$\mathrm{SU}(4)$ に対して、$\mathrm{SU}(2)\otimes \mathrm{SU}(2)$ による乗法下の局所同値類は、既存の文献で主張されているような通常の「ワイルチャンバー」によって表現されない。
代わりに、「ワイルチャンバー」は、大域位相を無視した射影局所同値によってのみ回復される。
両概念の同値性と一意性を決定する体系的理論を開発する。
我々の研究は、量子ゲートと回路の理論のための厳密なリー理論の基礎を確立する。
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