論文の概要: Multi-Scale Separable Fourier Neural Networks for Solving High-Frequency PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.31027v1
- Date: Fri, 29 May 2026 08:58:39 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-01 20:56:50.48976
- Title: Multi-Scale Separable Fourier Neural Networks for Solving High-Frequency PDEs
- Title（参考訳）: 高周波PDEのためのマルチスケール分離型フーリエニューラルネットワーク
- Abstract要約: 我々は,新しいニューラルネットワークアーキテクチャであるMulti-Scale Separable Neural Networks (MS-SFNN)を提案する。
MS-SFNNは、様々な挑戦的なPDEで前例のない精度を達成し、最先端の手法を著しく上回っている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.7347781746626705
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We propose a novel neural network architecture, termed Multi-Scale Separable Fourier Neural Networks (MS-SFNN), for the accurate and efficient solution of linear and nonlinear high-frequency partial differential equations (PDEs). MS-SFNN exploits a separable representation: given a $d$-dimensional input, it employs $d$ independent subnetworks -- each acting on a single coordinate -- and constructs basis functions via element-wise multiplication of their outputs. The PDE solution is approximated as a linear combination of these basis functions, with coefficients determined by least squares. Critically, all network weights and biases are randomly initialized once, from a uniform distribution with unit variance, and remain fixed thereafter. To enhance expressivity, a tunable scaling factor is introduced in each subnetwork to modulate the frequency content of the resulting basis functions. Fourier features are explicitly embedded through cosine activations, endowing the method with strong spectral approximation capabilities. To mitigate the memory bottleneck associated with dense collocation in high-frequency or three-dimensional problems, we replace automatic differentiation with analytically derived basis function derivatives and develop a memory-efficient batched QR decomposition algorithm for solving large-scale least-squares systems. Numerical experiments demonstrate that MS-SFNN achieves unprecedented accuracy across a range of challenging PDEs, significantly outperforming state-of-the-art methods such as Physics-Informed Neural Networks (PINN) and Separated-Variable Spectral Neural Networks (SV-SNN).
- Abstract（参考訳）: 本稿では,線形および非線形高周波数偏微分方程式(PDE)の正確かつ効率的な解法として,Multi-Scale Separable Fourier Neural Networks (MS-SFNN) と呼ばれる新しいニューラルネットワークアーキテクチャを提案する。
MS-SFNNは分離可能な表現を利用する:$d$次元の入力を与えられたら、$d$独立サブネットワーク(それぞれが1つの座標に作用する)を使用し、出力を要素的に乗算することで基底関数を構成する。
PDE解はこれらの基底関数の線型結合として近似され、係数は最小二乗で決定される。
臨界的に、全てのネットワーク重みとバイアスは、単位分散の均一分布からランダムに初期化され、その後固定される。
表現性を高めるために、各サブネットワークにチューナブルスケーリング係数を導入し、その結果の基底関数の周波数内容を変調する。
フーリエ機能はコサインアクティベーションを通じて明示的に組み込まれ、強いスペクトル近似能力を持つ手法が提供される。
高周波, 三次元問題における高密度コロケーションに伴うメモリボトルネックを軽減するため, 解析的に導出した基底関数導関数に自動微分を置き換え, 大規模最小二乗系を解くためのメモリ効率のバッチQR分解アルゴリズムを開発した。
数値実験により、MS-SFNNは様々な挑戦的なPDEにおいて前例のない精度を達成し、物理学情報ニューラルネットワーク(PINN)や分離可変スペクトルニューラルネットワーク(SV-SNN)といった最先端の手法を著しく上回った。
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