論文の概要: Asymptotic Recovery in Fourier Spectral Methods for the Schrödinger Equation with Point Singularities
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.01718v1
- Date: Mon, 01 Jun 2026 05:33:58 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-02 21:34:31.393734
- Title: Asymptotic Recovery in Fourier Spectral Methods for the Schrödinger Equation with Point Singularities
- Title（参考訳）: 点特異性を持つシュレーディンガー方程式に対するフーリエスペクトル法による漸近回復
- Authors: Yanjie Li, Sihong Shao,
- Abstract要約: 本稿では、Hs$における特異ポテンシャル$Vを持つシュルディンガー方程式に対するフーリエスペクトル法(FSM)について検討する。
孤立点特異点を持つポテンシャルの存在下で、我々はFSM解を後処理する手法を開発する。
AR-FSMと呼ばれるこの手法は超収束性を完全に活用し、固有値に対して2s+2+2b$、標準値として$H1$$の固有関数に対して$s+1+b$を得る。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.172011154321908
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper studies the Fourier spectral method (FSM) for the Schrödinger equation with singular potentials $V \in H^{s}$, where $s > \max\{d/2-2,-1\}$ and $d$ denotes the spatial dimension. This setting includes a broad class of singular potentials, such as the 3D Coulomb potential and the 1D Dirac-delta potential. First, we combine the Feshbach-Schur map with a refined perturbation argument to derive sharp convergence orders for FSM, yielding order $2s+2$ for eigenvalues and order $s+1$ for eigenfunctions in the $H^1$ norm. More importantly, the $H^1$ error with respect to the projected eigenfunction converges with a higher order $s+1+b$, where $b=\min\{s+2-d/2-\varepsilon,\; s+1,\; 2\}>0$ for arbitrarily small $\varepsilon>0$, revealing a super-convergence phenomenon. Second, in the presence of potentials with isolated point singularities, we develop an asymptotic-recovery (AR) technique to post-process the FSM solutions. The resulting method, dubbed AR-FSM, fully exploits the super-convergence property and achieves convergence orders $2s+2+2b$ for eigenvalues and $s+1+b$ for eigenfunctions in the $H^1$ norm, while the AR post-processing requires only a computational cost that is linear in the number of FSM degrees of freedom. The analysis introduces a rigorous definition of point singularities and develops a foundational framework for their study. It further establishes an asymptotic expansion of eigenfunctions consisting of a regular component in $H^{s+4}$ together with $d+1$ asymptotic functions associated with each singular point. Numerical experiments confirm the sharpness of these theoretical bounds.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、特異ポテンシャル$V \in H^{s}$, $s > \max\{d/2-2,-1\}$, $d$が空間次元を表すシュレーディンガー方程式のフーリエスペクトル法(FSM)を研究する。
この設定は3次元クーロンポテンシャルや1次元ディラックデルタポテンシャルのような幅広い特異ポテンシャルを含む。
まず、Feshbach-Schur 写像と洗練された摂動論を組み合わせ、FSM に対する鋭収束順序を導出し、固有値に対して 2s+2$ を、標準値として $H^1$ の固有関数に対して $s+1$ を導出する。
さらに重要なことは、予想された固有関数に対する$H^1$誤差は、より高次の$s+1+b$に収束し、ここでは$b=\min\{s+2-d/2-\varepsilon,\; s+1,\; 2\}>0$ は、任意の小さな $\varepsilon>0$ に対して、超収束現象を示す。
第2に、孤立点特異点を持つポテンシャルの存在下で、FSM解を後処理する漸近回復法(AR)を開発した。
AR-FSMと呼ばれるこの手法は超収束特性を完全に活用し、収束順序が 2s+2+2b$ の固有値と$H^1$ノルムの固有関数が $s+1+b$ となり、一方AR後処理は FSM の自由度に線形な計算コストしか必要としない。
この分析は点特異点の厳密な定義を導入し、それらの研究の基盤となる枠組みを開発する。
さらに、$H^{s+4}$ の正則成分と各特異点に付随する $d+1$ の漸近関数からなる固有函数の漸近展開を確立する。
数値実験により、これらの理論的境界の鋭さが確かめられる。
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