論文の概要: Deep Embedded Multiplicative DMD for Algebra-Preserving Koopman Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.05131v1
- Date: Wed, 03 Jun 2026 17:37:06 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-04 20:44:18.933903
- Title: Deep Embedded Multiplicative DMD for Algebra-Preserving Koopman Learning
- Title（参考訳）: 代数保存型クープマン学習のためのディープ組込み乗算型MDD
- Authors: Kelan Gray, Finlay Brown, Nicolas Boullé, Matthew J. Colbrook,
- Abstract要約: DeepMDMDは遅延空間と分割を学習する手法である。
スペクトル汚染を低減し、よりリッチな連続スペクトル構造を明らかにし、厳しい騒音下で安定した予測を与える。
これらの結果はクープマン学習の実践的なルールを示唆している:座標を学習し、代数を制約する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.7281952714917104
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Koopman theory turns nonlinear dynamics into a linear spectral problem. In computation, however, everything depends on a hard finite-dimensional choice: the observables must be expressive, nearly invariant under the dynamics, and, ideally, compatible with composition. Deep Koopman methods learn flexible coordinates, whereas structure-preserving methods enforce operator identities on fixed dictionaries. We combine these ideas by introducing Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD), a method that learns a latent space and a partition of it, while enforcing the Koopman product rule as an exact algebraic constraint. Training alternates between an exact multiplicative operator update and a differentiable latent-clustering step that promotes Koopman closure. The result is a finite transition map on learned latent cells. Its nonzero spectrum lies on the unit circle, its dictionary is shaped by the dynamics rather than by ambient geometry, and forecasts are made in latent coordinates before being decoded to physical space. Across Hamiltonian, chaotic, and fluid examples, DeepMDMD learns dictionaries that are far more compact and dynamically coherent than those produced by geometric MDMD partitions. It reduces spectral pollution, reveals richer continuous-spectrum structure, and gives stable forecasts under severe noise. In high-dimensional flows, including a 158,624-dimensional cylinder wake and a noisy $Re=20,000$ lid-driven cavity, it preserves coherent structures and long-time spectral statistics where state-space MDMD fails. These results suggest a practical rule for Koopman learning: learn the coordinates, constrain the algebra.
- Abstract（参考訳）: クープマン理論は非線形力学を線形スペクトル問題に変換する。
しかし、計算では、すべてがハードな有限次元の選択に依存している:オブザーバブルは表現的でなければならず、動的にほとんど不変であり、理想的には合成と互換性がある。
ディープ・クープマン法はフレキシブル座標を学習する一方、構造保存法は固定辞書上の演算子IDを強制する。
我々はこれらのアイデアを,Koopman積の規則を厳密な代数的制約として適用しつつ,潜伏空間と分割を学習するDeepMDMD(Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition)を導入することで組み合わせる。
トレーニングは、正確な乗法演算子更新と、クープマンのクロージャを促進する微分可能な潜在クラスタリングステップを交互に行う。
結果は学習された潜伏細胞上の有限遷移写像である。
非零スペクトルは単位円上にあり、その辞書は周囲の幾何学ではなく力学によって形作られ、予測は物理空間にデコードされる前に潜在座標で作られる。
ハミルトン的、カオス的、流動的な例を越えて、DeepMDMDは幾何学的MDMD分割によって生成されるものよりもはるかにコンパクトで動的に一貫性のある辞書を学ぶ。
スペクトル汚染を低減し、よりリッチな連続スペクトル構造を明らかにし、厳しい騒音下で安定した予測を与える。
158,624 次元のシリンダーウェイクと220,000$のライド駆動キャビティを含む高次元フローでは、状態空間MDが失敗するコヒーレント構造と長時間のスペクトル統計を保存する。
これらの結果はクープマン学習の実践的なルールを示唆している:座標を学習し、代数を制約する。
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