論文の概要: Quantum Codes from $r$-Nearly Self-Orthogonal Linear Codes via Jordan Canonical Form over $\mathbb{F}_{q^2}$

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.12242v1
• Date: Tue, 14 Jul 2026 00:58:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-15 17:08:30.002378
• Title: Quantum Codes from $r$-Nearly Self-Orthogonal Linear Codes via Jordan Canonical Form over $\mathbb{F}_{q^2}$
• Title（参考訳）: $r$-Nearly Self-Orthogonal Linear Codes via Jordan Canonical Forms over $\mathbb{F}_{q^2}$
• Authors: Liangdong Lu, Ruipan Yang, Yang Liu, Qiang Fu, Guanmin Guo,
• Abstract要約: 我々は、$F_q2$を超える任意の古典的線形符号から$q$ary量子安定化器符号を構築するためのヨルダン標準形式フレームワークを導入する。 このフレームワークは、双対を含む条件(すなわち自己直交性)を満たすために古典的な線形コード$mathcalC$を必要としない。 この構成を古典的な符号に適用すると、グラスルの表でよく知られたパラメータを改善または補足するいくつかの記録量子符号が生成される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.6342405886627
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We introduce a Jordan-canonical-form framework for constructing $q$-ary quantum stabilizer codes from arbitrary classical linear codes over $\F_{q^2}$. The framework does not require the classical linear code $\mathcal{C}$ to satisfy the dual-containing condition (i.e., self-orthogonality). Given a classical code $\mathcal{C}=[n,k,d]_{q^2}$ with parity-check matrix $H$, we measure the obstruction to Hermitian self-orthogonality by the rank $r=(n-k)-\dim_{\F_{q^2}}(\mathcal{C}^{\perp_h}\cap \mathcal{C})$. The ingredient code $\mathcal{C}$ is $r$-nearly dual containing, or, equivalently, $\mathcal{C}^{\perp_h}$ is $r$-nearly self-orthogonal, by which we mean that $r=\Rank(HH^{\dagger})=\dim_{\F_{q^2}}(\mathcal{C}^{\perp_h})-\dim_{\F_{q^2}}(\mathcal{C}^{\perp_h}\cap \mathcal{C})$. By systematically reducing the rank of the Hermitian inner-product matrix $A=HH^{\dagger}$ through rank-one perturbations along the Jordan basis $W=P^{-1}$ of the decomposition $A=PJ_AP^{-1}$, we construct an explicit Hermitian self-orthogonal code $\mathcal{C}_{\mathrm{so}}=[n+r,n-k]_{q^2}$. A sufficient distance-preservation criterion guarantees that the resulting $q$-ary quantum code has parameters $[[n+r,2k-n+r,\geq d]]_q$. Applying this construction to classical codes produces several record quantum codes that improve or supplement the best-known parameters in Grassl's tables.
• Abstract（参考訳）: 我々は、$$F_{q^2}$上の任意の古典的線形符号から$q$ary量子安定化器符号を構築するためのヨルダン標準形式フレームワークを導入する。 このフレームワークは、双対を含む条件(すなわち自己直交性)を満たすために古典的線形コード$\mathcal{C}$を必要としない。 古典的符号 $\mathcal{C}=[n,k,d]_{q^2}$ とパリティチェック行列 $H$ が与えられたとき、階数 $r=(n-k)-\dim_{\F_{q^2}}(\mathcal{C}^{\perp_h}\cap \mathcal{C})$ でエルミート自己直交の障害を測定する。 成分コード $\mathcal{C}$ は $r$-nearly dual containing または $\mathcal{C}^{\perp_h}$ は $r$-nearly self-orthogonal であり、$r=\Rank(H^{\dagger})=\dim_{\F_{q^2}}(\mathcal{C}^{\perp_h})-\dim_{\F_{q^2}}(\mathcal{C}^{\perp_h}\cap \mathcal{C})$である。 ジョルダン基底$W=P^{-1}$の階数1の摂動を通じて、体系的にエルミート内積行列$A=HH^{\dagger}$のランクを下げることで、明示的なエルミート自己直交符号$\mathcal{C}_{\mathrm{so}}=[n+r,n-k]_{q^2}$を構築する。 十分な距離保存基準により、結果の$q$-ary量子符号がパラメータ$[[n+r,2k-n+r,\geq d]]_q$を持つことが保証される。 この構成を古典的符号に適用すると、グラスルの表でよく知られたパラメータを改善または補ういくつかの記録的量子符号が生成される。

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