論文の概要: Spectral-Informed Neural Networks Outperform Spectral Methods in High-dimensional PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.13566v1
• Date: Wed, 15 Jul 2026 08:05:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-16 16:39:12.69696
• Title: Spectral-Informed Neural Networks Outperform Spectral Methods in High-dimensional PDEs
• Title（参考訳）: 高次元PDEにおけるスペクトルインフォームニューラルネットワークによるスペクトル法の性能評価
• Abstract要約: 本稿では,高調波解析による係数減衰スケーリングと基底埋め込みを統合した修正SINNを紹介する。 修正SINNは、不完全なスペクトル情報を持つ中次元問題においてスパースグリッドスペクトル法より優れていることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.746840490553547
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: For low-dimensional problems ($d\leq3$), spectral methods can achieve exceptionally high accuracy. For middle-dimensional problems ($4 \leq d \lesssim 10$), spectral methods remain feasible through specific techniques such as sparse grids or hyperbolic cross. However, for high-dimensional problems ($d\gg 10$), spectral methods suffer frome the curse of dimensionality. Physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a promising approach to overcome this challenge, offering scalability to high dimensions, but often suffer from limited accuracy and efficiency. Recently proposed spectral-informed neural networks (SINNs) combine spectral methods with PINNs, operating directly in the spectral domain to avoid spatial derivative computations and to reduce memory consumption. In this work, we introduce Modified SINNs, which integrate coefficient decay scaling and basis embeddings motivated by harmonic analysis to enhance accuracy in high-dimensional problems and enable accurate approximation of unknown spectral coefficients. Numerical experiments on steady and time-dependent partial differential equations demonstrate that Modified SINNs outperform sparse grid spectral methods on middle-dimensional problems with incomplete spectral information and achieve superior accuracy compared to PINNs on high-dimensional problems.
• Abstract（参考訳）: 低次元問題(d\leq3$)の場合、スペクトル法は非常に高い精度が得られる。 中次元問題 (4 \leq d \lesssim 10$) に対して、スペクトル法はスパースグリッドや双曲クロスのような特定の手法によって実現可能である。 しかし、高次元問題(d\gg 10$)では、スペクトル法は次元性の呪いに苦しむ。 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、この課題を克服するための有望なアプローチとして現れ、高次元にスケーラビリティを提供するが、精度と効率の制限に悩まされることが多い。 最近提案されたスペクトルインフォームドニューラルネットワーク(SINN)は、スペクトル法とPINNを組み合わせ、スペクトル領域で直接動作し、空間微分計算を回避し、メモリ消費を減らす。 本研究では,高次元問題の高精度化と未知のスペクトル係数の正確な近似を可能にするために,高調波解析により動機付けられた係数減衰スケーリングと基底埋め込みを統合した修正SINNを提案する。 定常偏微分方程式と時間依存偏微分方程式の数値実験により、修正SINNは不完全なスペクトル情報を持つ中次元問題においてスパースグリッドスペクトル法より優れ、高次元問題におけるPINNよりも精度が高いことを示した。

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