論文の概要: The geometry of absolute separability and other convex matrix properties from spectrum

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.03390v1
• Date: Tue, 04 Aug 2026 09:40:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-05 15:30:23.116426
• Title: The geometry of absolute separability and other convex matrix properties from spectrum
• Title（参考訳）: 絶対分離性およびスペクトルからの他の凸行列特性の幾何学
• Abstract要約: 両部類絶対分離状態(mathrmASEP_m,n$)と絶対正部分状態(mathrmAPPT_m,n$)のスペクトルの幾何学的構造について検討する。 我々は、面と極点を$mathrmAPPT_m,n$で完全に特徴づけ、ある行列のランクによって顔の次元が決定されることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate the geometric structure of the set of spectra of bipartite absolute separable states ($\mathrm{ASEP}_{m,n}$) and absolute positive partial transpose states ($\mathrm{APPT}_{m,n}$), i.e., bipartite quantum states that remain separable or PPT respectively, under all global unitary transformations. First, we establish general geometric properties of absolute convex sets of matrices, their spectra and extreme points. Regarding absolute separability, we present a permutation-symmetric reformulation of the absolute PPT criterion and use it to demonstrate that $\mathrm{APPT}_{m,n}$ is a spectrahedron for all $m\leq n$: in particular, all its faces are exposed. In contrast, while $\mathrm{ASEP}_{2,n}$ is also a spectrahedron, we prove that in general $\mathrm{ASEP}_{m,n}$ is a semialgebraic set for all $m\leq n$. Furthermore, we provide a complete characterization of the faces and extreme points of $\mathrm{APPT}_{m,n}$ and demonstrate that the dimension of a face is determined by the rank of a certain matrix, with maximal proper faces having dimension $(mn-m-1)$. In the quantitative setting, we provide a rigorous lower bound on the maximal attainable purity of $\mathrm{APPT}_{m,n}$ via an inscribed polytope $\mathcal{P}_{m,n}$ and conjecture that the maximal purity of $\mathrm{APPT}_{m,n}$ (along with its spectra) coincides with the polytope for arbitrary dimensions except when $m=n=2$. Additionally, we also provide a rigorous upper bound on the minimal von Neumann entropy of $\mathrm{APPT}_{m,n}$ and demonstrate numerically that the minimum entropy eventually coincides with the polytope $\mathcal{P}_{m,n}$ as the local system dimension $n$ increases. Finally, we show that the relative spectral volume of $\mathrm{APPT}_{m,n}$ decays exponentially in $n$ by a constant multiplicative factor of the relative volume of the inscribed polytope $\mathcal{P}_{m,n}$.
• Abstract（参考訳）: すべての大域的ユニタリ変換の下で、二分項絶対可分状態 (\mathrm{ASEP}_{m,n}$) と絶対正の偏移状態 (\mathrm{APPT}_{m,n}$) のスペクトルの集合の幾何学的構造について検討する。 まず、絶対凸集合とそのスペクトルおよび極点の一般幾何学的性質を確立する。 絶対分離性については、絶対的な PPT 基準の置換対称な再構成を示し、それを$\mathrm{APPT}_{m,n}$ がすべての $m\leq n$ に対する spectrahedron であることを証明するために使用する。 対照的に、$\mathrm{ASEP}_{2,n}$ もまた spectrahedron であるが、一般に $\mathrm{ASEP}_{m,n}$ はすべての $m\leq n$ に対する半代数集合であることを示す。 さらに、$\mathrm{APPT}_{m,n}$の面と極点の完全な特徴づけを提供し、ある面の次元がある行列のランクによって決定され、その面の最大固有面が$(mn-m-1)$であることを示す。 定量的な設定では、$\mathrm{APPT}_{m,n}$ の極大可到達純度上の厳密な下限を、入力されたポリトープ $\mathcal{P}_{m,n}$ を通して与え、$\mathrm{APPT}_{m,n}$ の極大純度が、$m=n=2$ のときを除いて任意の次元のポリトープと一致するという予想を与える。 さらに、最小のフォン・ノイマンエントロピーに$\mathrm{APPT}_{m,n}$の厳密な上界を提供し、最小のエントロピーが局所系次元$n$が増加するにつれて、最終的にポリトープ$\mathcal{P}_{m,n}$と一致することを数値的に示す。 最後に、$\mathrm{APPT}_{m,n}$の相対スペクトル体積は、入力されたポリトープ$\mathcal{P}_{m,n}$の相対体積の定数乗算係数により、指数関数的に$n$で崩壊することを示す。

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