論文の概要: What is Smoothness?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.03246v1
• Date: Thu, 03 Sep 2026 00:57:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-04 18:28:38.887242
• Title: What is Smoothness?
• Title（参考訳）: Smoothnessとは何か?
• Abstract要約: 実数直線上の函数の滑らかさはフーリエ変換の崩壊に反映されることを示す。 題名の疑問に対する答えは、滑らかさは群と生成集合の選択と共に函数の性質であるということである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Smoothness of a function on the real line is reflected in the decay of its Fourier transform, which suggests that smoothness of a function in $L^2(G)$ for a group $G$ should mean concentration of the Fourier coefficients at low frequency. Such a reading presupposes an ordering of the irreducible representations of $G$, but for non-abelian $G$, no ordering is canonical. Given a symmetric generating set $S$, the Laplacian of the associated Cayley graph is block diagonal over the dual, and we order the irreps by the mean of the eigenvalues in each block. This produces an ordering function $ω:\widehat{G}\to\mathbb{R}$ that depends only on the pair $(G,S)$. This function is bounded between zero and two, vanishing only at the trivial representation and achieving the upper bound exactly when the Cayley graph is bipartite. We then ask how much freedom the construction has. Within the class of operators satisfying natural axioms, the induced orderings are exactly the real functions on the dual vanishing at the trivial representation and agreeing on conjugate pairs, and the orderings coming from inversion orbits of conjugacy classes form a basis for them. We cut the freedom down further by requiring two additional inputs: nonnegativity of the class weights and a declaration of which group elements count as uniform incremental changes, which pins the operator to the Cayley-Laplacian up to positive scale. We observe that the construction persists for compact groups even though the Cayley graph does not, and we extend the theory to finite sets carrying a transitive group action, where the acting group selects which frequencies exist and the generating set orders them. The answer to the title question is therefore that smoothness is a property of a function together with a choice of group and generating set, not of the function alone.
• Abstract（参考訳）: 実数直線上の函数の滑らかさはフーリエ変換の崩壊に反映され、これは群$G$に対して$L^2(G)$の関数の滑らかさは低周波におけるフーリエ係数の濃度を意味するべきであることを示唆している。 このような読み取りは、$G$の既約表現の順序付けを前提としているが、非アーベル$G$の場合、順序付けは正準ではない。 対称生成集合 $S$ が与えられたとき、ケイリーグラフのラプラシアンは双対上のブロック対角線であり、各ブロックの固有値の平均でイグナップを順序付けする。 これにより順序関数 $ω:\widehat{G}\to\mathbb{R}$ が生成されるが、これはペア $(G,S)$ にのみ依存する。 この函数は 0 と 2 の間に有界で、自明な表現でのみ消滅し、ケイリーグラフが双分数であるときにちょうど上界を達成する。 建設の自由度を問う。 自然公理を満たす作用素のクラスの中では、誘導順序付けは自明な表現で消えて共役対に一致する双対上のまさに実函数であり、共役類の逆軌道から来る順序付けはそれらの基底となる。 クラス重みの非負性(nonnegativity of the class weights)と群要素の宣言(group element)という2つの追加入力を必要とすることにより、自由度をさらに減らし、作用素をケイリー・ラプラシアン(Cayley-Laplacian)に正のスケールに固定する。 ケイリーグラフがそうでないにもかかわらず、コンパクト群に対する構成が持続することを観察し、その理論を推移群作用を持つ有限集合に拡張し、作用群がどの周波数が存在するかを選択し、生成集合がそれらを順序付ける。 題名の疑問に対する答えは、滑らかさは群と生成集合の選択と共に函数の性質であり、関数のみではないということである。

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