論文の概要: On the geometry and typicality of quantum magic

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.03944v2
• Date: Tue, 08 Sep 2026 16:32:44 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-09 14:43:41.92503
• Title: On the geometry and typicality of quantum magic
• Title（参考訳）: 量子魔法の幾何学と典型性について
• Abstract要約: 次元 $d=2n$ の$n$-qubit 系に対して、$operatornameTr(2)le 1/(d-a_ast)$ を満たす全ての状態が安定化器ポリトープの中にあり、従ってマジックフリーであることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.9443300988715944
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We prove that, for an $n$-qubit system of dimension $d=2^n$, every state satisfying $\operatorname{Tr}(ρ^2)\le 1/(d-a_\ast)$, with $a_\ast=0.458327\cdots$, lies inside the stabilizer polytope and is therefore magic-free. Combining this result with general geometric properties of high-dimensional polytopes, we establish quantitative estimates for the Hilbert--Schmidt inradius and volume radius of the stabilizer polytope, and use them to characterize the typicality of magic in random induced states obtained by tracing out a $k$-dimensional subsystem from a $d\times k$-dimensional Haar-random pure state. We prove a sharp phase transition in the probability of such states having magic, whose transition dimension $k_\star$ is bounded between $Ω(d^2/\log^2d)$ and $\mathcal{O}(d^2)$. We further prove that the number of facets of the stabilizer polytope lies between $\exp[Ω(d^2/\log^2 d)]$ and $\exp[\mathcal{O}(d^2\log^2 d)]$ employing a result of Bourgain and Milman in convex geometry, substantially improving upon the previous quasipolynomial lower bound and implying that doubly-exponentially many linear inequalities in the number of qubits are required for an exact description of the magic-free region. Overall, our results reveal the near-extremal geometry of the stabilizer polytope and provide a quantitative foundation for understanding the typicality, robustness, and detectability of magic.
• Abstract（参考訳）: 次元 $d=2^n$ の$n$-qubit 系の場合、$\operatorname{Tr}(ρ^2)\le 1/(d-a_\ast)$, with $a_\ast=0.458327\cdots$ を満たす全ての状態が安定化器ポリトープの中にあり、したがってマジックフリーであることを示す。 この結果と高次元ポリトープの一般幾何学的性質を組み合わせることで、ヒルベルト・シュミット・イラシウスと安定化器ポリトープの体積半径を定量的に推定し、これらを用いて、$d\times k$-dimensional Haar-random純状態から$k$-dimensional subsystemをトレースして得られるランダム誘導状態におけるマジックの典型性を特徴づける。 それらの遷移次元が$Ω(d^2/\log^2d)$と$\mathcal{O}(d^2)$の間に有界であるようなマジックを持つ状態の確率において、鋭い位相遷移が証明される。 さらに、安定化器ポリトープの面の数は$\exp[Ω(d^2/\log^2 d)]$と$\exp[\mathcal{O}(d^2\log^2 d)]$の間にあることを証明し、凸幾何学においてブルゲインとミルマンの結果を用いることで、以前の準多項式の下界を著しく改善し、マジックフリー領域の正確な記述にキュービットの数が2倍に多くの線型不等式を必要とすることを示唆する。 以上の結果から, 安定度ポリトープのほぼ極端形状を明らかにするとともに, マジックの典型性, 堅牢性, 検出性を理解するための定量的基盤を提供する。

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