論文の概要: Representation Redundancy and Structural Complexity in Finite-Field Inversion
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.04583v1
- Date: Fri, 04 Sep 2026 00:33:03 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-07 18:15:23.868781
- Title: Representation Redundancy and Structural Complexity in Finite-Field Inversion
- Title（参考訳）: 有限フィールドインバージョンにおける表現冗長性と構造複雑度
- Authors: Zheng Zhang, Na Zhang,
- Abstract要約: 異なる順序 (mathbb F) 基底で表現されたフィールド要素を持つ反転(mathbb F_2n)現象について検討する。
2つの順序基底が同じガロア軌道に属する場合に限り、同じ座標反転写像を誘導することを証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.640569733631528
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The representation chosen for a mathematical operation can affect both its algebraic form and its empirical learning difficulty. We study this phenomenon for inversion over \(\mathbb F_{2^n}\), with field elements expressed in varying ordered \(\mathbb F_2\)-bases. We prove that two ordered bases induce the same coordinate inversion map if and only if they belong to the same Galois orbit. Since every orbit has size \(n\), the correspondence between ordered bases and distinct inversion maps is exactly \(n\)-to-one. We then analyze three Boolean formulations of inversion. The reference formulation has algebraic degree \(n-1\) and joint ANF leap \(1\), the mixed representation formulation has degree \(2(n-1)\) and joint ANF leap \(2\), and the complete raw formulation has degree at most \(3(n-1)\) and joint ANF leap at least \(n\). Exhaustive computations agree with the theoretical results and bounds in the cases considered. Controlled experiments with multilayer perceptrons show the same ordering in learning difficulty, while Galois orbit redundancy provides only a limited generalization benefit under the tested conditions. These results show that exact redundancy among representations can coexist with changes in Boolean structure and learning behavior when the representation is exposed as part of the input.
- Abstract（参考訳）: 数学的操作のために選択された表現は、その代数形式とその経験的学習困難に影響を及ぼす。
この現象を、異なる順序の \(\mathbb F_2\)-基底で表現された体要素を持つ \(\mathbb F_{2^n}\) 上の逆変換について研究する。
2つの順序基底が同じガロア軌道に属する場合に限り、同じ座標反転写像を誘導することを証明する。
すべての軌道は大きさ \(n\) であるため、順序付き基底と異なる逆写像の間の対応はちょうど \(n\)-対 1 である。
次に、反転のブール式を3つ解析する。
基準定式化は代数次数 \(n-1\) と関節 ANF leap \(1\) を持ち、混合表現定式化は次数 \(2(n-1)\) と関節 ANF leap \(2\) を持ち、完全な原定式化は少なくとも次数 \(3(n-1)\) と関節 ANF leap(n\) を持つ。
探索計算は、考慮された場合の理論的結果と境界に一致する。
多層パーセプトロンによる制御された実験は、学習の難しさにおいて同じ順序を示す一方、ガロア軌道の冗長性は試験条件下では限定的な一般化の利点しか示さない。
これらの結果から,表現間の正確な冗長性は,表現が入力の一部として露出した場合のブール構造の変化や学習行動と共存できることが示された。
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