論文の概要: Quantum Kolmogorov--Arnold representation theorem for continuous unitary-valued maps
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.03187v1
- Date: Fri, 03 Jul 2026 10:46:32 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-07 22:26:29.54819
- Title: Quantum Kolmogorov--Arnold representation theorem for continuous unitary-valued maps
- Title（参考訳）: 連続ユニタリ値写像に対する量子コルモゴロフ-アルノルド表現定理
- Abstract要約: 連続ユニタリ値写像に対するコルモゴロフ-アルノルド表現定理の2つの量子類似体を確立する。
これらの局所表現定理をグローバルに拡張できないことを示すために, (mathcalSU(2)) の持ち上げ特性に基づく具体的なトポロジカル反例を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: The classical Kolmogorov--Arnold representation theorem states that any continuous multivariate function can be exactly decomposed into a finite composition of univariate continuous functions and addition operations. This foundational result has recently inspired the development of Kolmogorov--Arnold Networks (KANs) in classical machine learning, as well as their extensions into the quantum domain (QKANs). In this paper, we establish two quantum analogues of the Kolmogorov--Arnold representation theorem for continuous unitary-valued maps of several variables within an open $1$-neighbourhood of the identity matrix \(O_1(\mathbf{I}) \subset \mathcal{U}(n)\). First, we prove a representation theorem that yields an exact additive decomposition inside the matrix exponent of anti-Hermitian-valued maps. Second, due to the non-commutative nature of quantum operators, we derive a factorised version expressing the target unitary map as a finite sequential product of univariate matrix exponentials. Finally, we provide a concrete topological counterexample based on the lifting property of \(\mathcal{SU}(2)\) to demonstrate that these local representation theorems cannot be globally extended to the entire unitary group \(\mathcal{U}(n)\) without encountering fundamental structural obstructions.
- Abstract（参考訳）: 古典的コルモゴロフ-アルノルド表現定理(英語版)は、任意の連続多変量関数は、正確には単変量連続函数と加算演算の有限合成に分解できると述べている。この基礎的な結果は、最近、古典的機械学習におけるコルモゴロフ-アルノルドネットワーク(英語版)(KAN)の発展と量子領域(英語版)(QKAN)への拡張(英語版)にインスピレーションを与えた。
本論文では、恒等行列 \(O_1(\mathbf{I}) \subset \mathcal{U}(n)\) の開1ドル近傍において、いくつかの変数の連続ユニタリ値写像に対するコルモゴロフ-アルノルド表現定理の2つの量子類似体を確立する。
まず、反エルミタン値写像の行列指数の中で、正確な加法分解をもたらす表現定理を証明する。
第二に、量子作用素の非可換性のため、対象ユニタリ写像を単変数行列指数の有限次積として表現する分解版を導出する。
最後に、これらの局所表現定理が基本的な構造的障害に遭遇することなく、全ユニタリ群 \(\mathcal{U}(n)\) に大域的に拡張できないことを示すために、 \(\mathcal{SU}(2)\) の持ち上げ特性に基づく具体的な位相的反例を提供する。
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