論文の概要: On the error exponents of binary state discrimination with composite
hypotheses
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.04645v2
- Date: Wed, 12 May 2021 17:58:17 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-24 21:19:30.187776
- Title: On the error exponents of binary state discrimination with composite
hypotheses
- Title（参考訳）: 複合仮説を用いた二項状態判別の誤差指数について
- Authors: Mil\'an Mosonyi, Zsombor Szil\'agyi, Mih\'aly Weiner
- Abstract要約: 古典的場合においても、任意の誤差指数に対して等式が失敗する可能性があることを示す。
また、国家差別問題の一般的なクラスについても等式を証明している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The trade-off between the two types of errors in binary state discrimination
may be quantified in the asymptotics by various error exponents. In the case of
simple i.i.d. hypotheses, each of these exponents is equal to a divergence
(pseudo-distance) of the two states. In the case of composite hypotheses,
represented by sets of states $R,S$, one always has the inequality
$\mathrm{e}(R\|S)\le \mathrm{E}(R\|S)$, where $\mathrm{e}$ is the exponent,
$\mathrm{E}$ is the corresponding divergence, and the question is whether
equality holds. The relation between the composite exponents and the worst
pairwise exponents may be influenced by a number of factors: the type of
exponents considered; whether the problem is classical or quantum; the
cardinality and the geometric properties of the sets representing the
hypotheses; and, on top of the above, possibly whether the underlying Hilbert
space is finite- or infinite-dimensional.
Our main contribution in this paper is clarifying this landscape
considerably: We exhibit explicit examples for hitherto unstudied cases where
the above inequality fails to hold with equality, while we also prove equality
for various general classes of state discrimination problems. In particular, we
show that equality may fail for any of the error exponents even in the
classical case, if the system is allowed to be infinite-dimensional, and the
alternative hypothesis contains countably infinitely many states. Moreover, we
show that in the quantum case strict inequality is the generic behavior in the
sense that, starting from any pair of non-commuting density operators of any
dimension, and for any of the exponents, it is possible to construct an example
with a simple null-hypothesis and an alternative hypothesis consisting of only
two states, such that strict inequality holds for the given exponent.
- Abstract（参考訳）: バイナリ状態判別における2種類のエラー間のトレードオフは、様々なエラー指数によって漸近的に定量化することができる。
単純なi.i.d.仮説の場合、これらの指数はそれぞれ2つの状態の発散 (pseudo distance) に等しい。
r,s$ で表される合成仮説の場合、常に不等式 $\mathrm{e}(r\|s)\le \mathrm{e}(r\|s)$ を持ち、ここで $\mathrm{e}$ は指数であり、$\mathrm{e}$ は対応する発散であり、問題は等式が成り立つかどうかである。
合成指数と最悪の対の指数との関係は、考慮される指数の種類、問題は古典的であるか量子的であるか、仮説を表す集合の濃度と幾何学的性質、そして上記の上、基礎となるヒルベルト空間が有限次元であるか無限次元であるかの様々な要因に影響されるかもしれない。
本稿では,上記の不等式が等式を満たさない場合の明示的な例を示すとともに,種々の状態弁別問題の一般クラスに対する等式を証明する。
特に、システムの無限次元化が許され、代替仮説は数え切れないほど多くの状態を含む場合、古典的な場合であっても、任意の誤差指数に対して等式が失敗する可能性がある。
さらに、量子の場合において厳密不等式は、任意の次元の任意の対の非可換密度作用素から始まり、任意の指数に対して、与えられた指数に対して厳密不等式が成り立つような、単純なヌルハイポテーゼと2つの状態のみからなる別の仮説からなる例を構成できるという意味での一般的な挙動であることを示す。
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