論文の概要: A Structure-Preserving Framework for Solving Parabolic Partial Differential Equations with Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.10273v2
• Date: Thu, 07 Aug 2025 03:06:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-08 21:11:55.544745
• Title: A Structure-Preserving Framework for Solving Parabolic Partial Differential Equations with Neural Networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークを用いたパラボリック部分微分方程式の解法のための構造保存フレームワーク
• Authors: Gaohang Chen, Lili Ju, Zhonghua Qiao,
• Abstract要約: パラボリックPDEを解くために,既存のNNソルバの物理的整合性を高める新しいフレームワークを提案する。 時間依存スペクトル再正規化アプローチにインスパイアされた私たちのSidecarフレームワークは、副操縦士として小さなネットワークを導入する。 我々のフレームワークは非常に柔軟であり、様々なPDEの物理量の保存を幅広いNNソルバに組み込むことができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.037707804854564
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Solving partial differential equations (PDEs) with neural networks (NNs) has shown great potential in various scientific and engineering fields. However, most existing NN solvers mainly focus on satisfying the given PDE formulas in the strong or weak sense, without explicitly considering some intrinsic physical properties, such as mass and momentum conservation, or energy dissipation. This limitation may result in nonphysical or unstable numerical solutions, particularly in long-term simulations. To address this issue, we propose ``Sidecar'', a novel framework that enhances the physical consistency of existing NN solvers for solving parabolic PDEs. Inspired by the time-dependent spectral renormalization approach, our Sidecar framework introduces a small network as a copilot, guiding the primary function-learning NN solver to respect the structure-preserving properties. Our framework is highly flexible, allowing the preservation of various physical quantities for different PDEs to be incorporated into a wide range of NN solvers. Experimental results on some benchmark problems demonstrate significant improvements brought by the proposed framework to both accuracy and structure preservation of existing NN solvers.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワーク(NN)を用いた偏微分方程式(PDE)の解法は、様々な科学・工学分野において大きな可能性を示している。 しかし、既存のNNソルバのほとんどは、主に、質量や運動量保存、エネルギーの消散といった固有の物理的性質を明示的に考慮することなく、与えられたPDE式を強いまたは弱い意味で満たすことに重点を置いている。 この制限は、特に長期シミュレーションにおいて、非物理的または不安定な数値解をもたらす可能性がある。 この問題に対処するため,パラボリックPDEを解くために既存のNNソルバの物理的整合性を高める新しいフレームワークである `Sidecar' を提案する。 時間依存スペクトル再正規化アプローチに触発されて,私たちのSidecarフレームワークは,構造保存特性を尊重する主機能学習NNソルバを誘導する,小さなネットワークを共振器として導入する。 我々のフレームワークは非常に柔軟であり、様々なPDEの物理量の保存を幅広いNNソルバに組み込むことができる。 いくつかのベンチマーク問題に対する実験結果から,既存のNNソルバの精度と構造保存の両面において,提案手法による大幅な改善が示された。

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