論文の概要: Observables compatible to the toroidal moment operator
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.05889v1
- Date: Thu, 14 Jan 2021 22:03:15 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-15 04:56:58.026759
- Title: Observables compatible to the toroidal moment operator
- Title（参考訳）: トロイダルモーメント演算子互換のObservables
- Authors: Dragos-Victor Anghel and Amanda Teodora Preda
- Abstract要約: 定式化は、核、凝縮物質系、メタマテリアルなどの特定の物理系に適用することができる。
運動量演算子と運動量演算子と自由粒子ハミルトニアンを計算してこれを例示する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The quantum operator $\hat{T}_3$, corresponding to the projection of the
toroidal moment on the $z$ axis, admits several self-adjoint extensions, when
defined on the whole $\mathbb{R}^3$ space. $\hat{T}_3$ commutes with
$\hat{L}_3$ (the projection of the angular momentum operator on the $z$ axis)
and they have a \textit{natural set of coordinates} $(k,u,\phi)$ where $\phi$
is the azimuthal angle. The second set of \textit{natural coordinates} is
$(k_1,k_2,u)$, where $k_1 = k\cos\phi$, $k_2 = k\sin\phi$. In both sets,
$\hat{T}_3 = -i\hbar\partial/\partial u$, so any operator that is a function of
$k$ and the partial derivatives with respect to the \textit{natural variables}
$(k, u, \phi)$ commute with $\hat{T}_3$ and $\hat{L}_3$. Similarly, operators
that are functions of $k_1$, $k_2$, and the partial derivatives with respect to
$k_1$, $k_2$, and $u$ commute with $\hat{T}_3$. Therefore, we introduce here
the operators $\hat{p}_{k} \equiv -i \hbar \partial/\partial k$,
$\hat{p}^{(k1)} \equiv -i \hbar \partial/\partial k_1$, and $\hat{p}^{(k2)}
\equiv -i \hbar \partial/\partial k_2$ and express them in the $(x,y,z)$
coordinates. One may also invert the relations and write the typical operators,
like the momentum $\hat{\bf p} \equiv -i\hbar {\bf \nabla}$ or the kinetic
energy $\hat{H}_0 \equiv -\hbar^2\Delta/(2m)$ in terms of the "toroidal"
operators $\hat{T}_3$, $\hat{p}^{(k)}$, $\hat{p}^{(k1)}$, $\hat{p}^{(k2)}$,
and, eventually, $\hat{L}_3$. The formalism may be applied to specific physical
systems, like nuclei, condensed matter systems, or metamaterials. We exemplify
it by calculating the momentum operator and the free particle Hamiltonian in
terms of \textit{natural coordinates} in a thin torus, where the general
relations get considerably simplified.
- Abstract（参考訳）: z$軸上のトロイダルモーメントの射影に対応する量子作用素 $\hat{T}_3$ は、すべての $\mathbb{R}^3$ 空間上で定義されるとき、いくつかの自己随伴拡張を許容する。
$\hat{t}_3$ は$\hat{l}_3$ (z$ 軸上の角運動量作用素の射影) で可換であり、それらは \textit{natural set of coordinates} $(k,u,\phi)$ ここで$\phi$ は方位角である。
第二集合 \textit{natural coordinates} は $(k_1,k_2,u)$ であり、ここで $k_1 = k\cos\phi$, $k_2 = k\sin\phi$ である。
両方の集合において、$\hat{T}_3 = -i\hbar\partial/\partial u$ であるので、$k$ の関数である任意の作用素と \textit{natural variables} $(k, u, \phi)$ commute with $\hat{T}_3$ および $\hat{L}_3$ に関する部分微分が成り立つ。
同様に、$k_1$、$k_2$、および$k_1$、$k_2$、および$u$の偏微分関数である演算子は、$\hat{t}_3$である。
したがって、ここでは演算子 $\hat{p}_{k} \equiv -i \hbar \partial/\partial k$, $\hat{p}^{(k1)} \equiv -i \hbar \partial/\partial k_1$, $\hat{p}^{(k2)} \equiv -i \hbar \partial/\partial k_2$ を導入し、$(x,y,z)$座標で表現する。
例えば、運動量 $\hat{\bf p} \equiv -i\hbar {\bf \nabla}$ や運動エネルギー $\hat{h}_0 \equiv -\hbar^2\delta/(2m)$ といった「トロイダル」演算子 $\hat{t}_3$, $\hat{p}^{(k)}$, $\hat{p}^{(k1)}$, $\hat{p}^{(k2)}$, $\hat{p}^{(k2)}$, $\hat{l}_3$, そして、最終的に $\hat{l}_3$ である。
形式論は、核、凝縮物系、メタマテリアルなどの特定の物理系に適用することができる。
我々は、運動量作用素と自由粒子ハミルトニアンを薄いトーラスの「textit{natural coordinates}」で計算することでこれを例示し、一般関係は大幅に単純化される。
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