論文の概要: Solving Differential Equations with Constrained Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.22796v1
• Date: Wed, 30 Oct 2024 08:20:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-10-31 14:26:20.172429
• Title: Solving Differential Equations with Constrained Learning
• Title（参考訳）: 制約学習による微分方程式の解法
• Authors: Viggo Moro, Luiz F. O. Chamon,
• Abstract要約: (部分微分方程式)は自然現象を記述するための基本的な道具であり、その解は科学や工学において不可欠である。 有限要素法のような従来の手法は信頼性の高い解を提供するが、その精度は計算集約的な微細メッシュの使用と結びついている。 本稿では,SCL(Science-Constrained Learning)フレームワークを開発することにより,これらの課題に対処する。 PDEの(弱い)解を見つけることは、最悪の損失を伴う制約付き学習問題の解決と等価であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.522558872274276
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• Abstract: (Partial) differential equations (PDEs) are fundamental tools for describing natural phenomena, making their solution crucial in science and engineering. While traditional methods, such as the finite element method, provide reliable solutions, their accuracy is often tied to the use of computationally intensive fine meshes. Moreover, they do not naturally account for measurements or prior solutions, and any change in the problem parameters requires results to be fully recomputed. Neural network-based approaches, such as physics-informed neural networks and neural operators, offer a mesh-free alternative by directly fitting those models to the PDE solution. They can also integrate prior knowledge and tackle entire families of PDEs by simply aggregating additional training losses. Nevertheless, they are highly sensitive to hyperparameters such as collocation points and the weights associated with each loss. This paper addresses these challenges by developing a science-constrained learning (SCL) framework. It demonstrates that finding a (weak) solution of a PDE is equivalent to solving a constrained learning problem with worst-case losses. This explains the limitations of previous methods that minimize the expected value of aggregated losses. SCL also organically integrates structural constraints (e.g., invariances) and (partial) measurements or known solutions. The resulting constrained learning problems can be tackled using a practical algorithm that yields accurate solutions across a variety of PDEs, neural network architectures, and prior knowledge levels without extensive hyperparameter tuning and sometimes even at a lower computational cost.
• Abstract（参考訳）: (部分微分方程式)は自然現象を記述するための基本的な道具であり、その解は科学や工学において不可欠である。 有限要素法のような従来の手法は信頼性の高い解を提供するが、その精度は計算集約的な微細メッシュの使用と結びついていることが多い。 さらに、彼らは自然に測定や事前の解決策を説明せず、問題パラメータの変更には結果を完全に再計算する必要がある。 物理インフォームドニューラルネットワークやニューラル演算子といったニューラルネットワークベースのアプローチは、これらのモデルをPDEソリューションに直接適合させることで、メッシュフリーな代替手段を提供する。 また、事前の知識を統合して、トレーニングの損失を増やすだけで、PDEの家族全体に取り組むこともできる。 それでも、コロケーションポイントや各損失に関連する重みなどのハイパーパラメータに非常に敏感である。 本稿では,SCL(Science-Constrained Learning)フレームワークを開発することにより,これらの課題に対処する。 PDEの(弱い)解を見つけることは、最悪の損失を伴う制約付き学習問題の解決と等価であることを示す。 これは、集計された損失の期待値を最小限に抑える以前の方法の限界を説明する。 SCLはまた、構造的制約(例えば、不変性)と(部分的)測定または既知の解を有機的に統合する。 結果として生じる制約付き学習問題は、様々なPDE、ニューラルネットワークアーキテクチャ、より広範なハイパーパラメータチューニングを伴わずに、時には計算コストを下げることなく、正確な解が得られる実用的なアルゴリズムを用いて取り組めることができる。

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