論文の概要: Asymmetry of tensor product of asymmetric and invariant vectors arising
from Schur-Weyl duality based on hypergeometric orthogonal polynomial
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.12635v1
- Date: Mon, 26 Apr 2021 15:03:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-02 08:50:44.134118
- Title: Asymmetry of tensor product of asymmetric and invariant vectors arising
from Schur-Weyl duality based on hypergeometric orthogonal polynomial
- Title（参考訳）: 超幾何学直交多項式に基づくシュル=ワイル双対性から生じる非対称および不変ベクトルのテンソル積の非対称性
- Authors: Masahito Hayashi, Akihito Hora, Shintarou Yanagida
- Abstract要約: 量子情報理論における非対称性問題によって動機付けられたある離散確率分布$P_n,m,k,l$について検討する。
この分布はテンソル積 $Xi_n,m|k,l$ の既約分解によって定義される: $nameSU(2)$-$mathfrakS_n$-bi module $(mathbbC2)otimes n は古典的なシュル=ワイル双対性に現れる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 51.7367238070864
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We introduce and study a certain discrete probability distribution
$P_{n,m,k,l}$ having non-negative integer parameters $n,m,k,l$, motivated by
the asymmetry problem in quantum information theory. Its analysis reveals the
number of orthogonal vectors among permuted vectors of the tensor product of
asymmetric and invariant vectors. The distribution is defined by irreducible
decomposition of the tensor product $\Xi_{n,m|k,l}$ of a certain asymmetric
state and the Dicke state in the
$\operatorname{SU}(2)$-$\mathfrak{S}_n$-bimodule $(\mathbb{C}^2)^{\otimes n}$
appearing in the classical Schur-Weyl duality. We derive several explicit
formulas of the probability mass function $p(x)=p(x|n,m,k,l)$ involving
hypergeometric orthogonal polynomials via representation theoretic methods.
Among them, Racah presentation is the most remarkable and useful formula, which
expresses the pmf $p(x)$ by a single Racah polynomial. We also derive a formula
expressing the cumulative distribution function in terms of a terminating ${}_4
F_3$-hypergeometric series. Using these explicit formulas, we study asymptotic
behavior of $P_{n,m,k,l}$ in two types of limit $n \to \infty$. In the first
limit, we fix $k$, $l$ and $m/n$, and show that the asymptotic discrete
distribution is the convolution of two binomial distributions. In the second
limit, we fix $m/n$, $k/n$ and $l/n$, and prove the central limit theorem of
$P_{n,m,k,l}$, of which the limit normal distribution is derived by the
three-term recurrence relation of $p(x)$ coming from that of Racah polynomial.
We also describe the asymptotic behavior of the expectation and the variance
beyond the central limit theorem. Based on these asymptotic analysis, we
discuss the degree of asymmetry of the tensor product state $\Xi_{n,m|k,l}$. In
the appendix, we discuss $\mathbf{q}$-analogue of the computations on
$P_{n,m,k,l}$.
- Abstract（参考訳）: 量子情報理論における非対称性問題によって動機付けられた非負の整数パラメータ $n,m,k,l$ を持つ離散確率分布 $P_{n,m,k,l}$ を導入,研究する。
その解析は、非対称ベクトルと不変ベクトルのテンソル積の置換ベクトル間の直交ベクトルの数を明らかにする。
この分布は、ある非対称状態のテンソル積 $\xi_{n,m|k,l}$ と、古典シュール-ワイル双対性に現れる$\operatorname{su}(2)$-$\mathfrak{s}_n$-bimodule $(\mathbb{c}^2)^{\otimes n}$ の既約分解によって定義される。
確率質量関数 $p(x)=p(x|n,m,k,l)$ のいくつかの明示的な公式を表現論的手法で導いた。
その中でも、ラカフの表現は最も顕著で有用な公式であり、pmf $p(x)$を1つのラカフ多項式で表す。
また、累積分布関数を表す式を${}_4 f_3$-超幾何級数を用いて導出する。
これらの明示的な公式を用いて、$P_{n,m,k,l}$の漸近挙動を2種類の極限$n \to \infty$で研究する。
最初の極限において、$k$, $l$ および $m/n$ を固定し、漸近離散分布が2つの二項分布の畳み込みであることを示す。
2つ目の極限では、$m/n$, $k/n$, $l/n$を固定し、その極限正規分布がラカフ多項式から来る$p(x)$の3項反復関係によって導かれるような$P_{n,m,k,l}$の中心極限定理を証明する。
また、期待の漸近的挙動と中心極限定理を超えた分散についても述べる。
これらの漸近解析に基づいて、テンソル積状態 $\xi_{n,m|k,l}$ の非対称性の程度を考察する。
付録では、$P_{n,m,k,l}$上の計算の$\mathbf{q}$-analogueについて議論する。
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