論文の概要: MOD-Net: A Machine Learning Approach via Model-Operator-Data Network for Solving PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.03673v1
• Date: Thu, 8 Jul 2021 08:26:46 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-07-09 13:21:26.084530
• Title: MOD-Net: A Machine Learning Approach via Model-Operator-Data Network for Solving PDEs
• Title（参考訳）: MOD-Net: PDEを解くためのモデル演算子-データネットワークによる機械学習アプローチ
• Authors: Lulu Zhang, Tao Luo, Yaoyu Zhang, Zhi-Qin John Xu, Zheng Ma
• Abstract要約: PDEを解決するために,モデル演算型データネットワーク (MOD-Net) を提案する。 MOD-Netは、データから正規化された演算子表現に基づいてPDEを解決するモデルによって駆動される。 数値的にMOD-Netはポアソン方程式と1次元ボルツマン方程式を解くのに非常に効率的であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.574591721334678
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: In this paper, we propose a model-operator-data network (MOD-Net) for solving PDEs. A MOD-Net is driven by a model to solve PDEs based on operator representation with regularization from data. In this work, we use a deep neural network to parameterize the Green's function. The empirical risk consists of the mean square of the governing equation, boundary conditions, and a few labels, which are numerically computed by traditional schemes on coarse grid points with cheap computation cost. With only the labeled dataset or only the model constraints, it is insufficient to accurately train a MOD-Net for complicate problems. Intuitively, the labeled dataset works as a regularization in addition to the model constraints. The MOD-Net is much efficient than original neural operator because the MOD-Net also uses the information of governing equation and the boundary conditions of the PDE rather than purely the expensive labels. Since the MOD-Net learns the Green's function of a PDE, it solves a type of PDEs but not a specific case. We numerically show MOD-Net is very efficient in solving Poisson equation and one-dimensional Boltzmann equation. For non-linear PDEs, where the concept of the Green's function does not apply, the non-linear MOD-Net can be similarly used as an ansatz for solving non-linear PDEs.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,PDEを解くためのモデル演算型データネットワーク(MOD-Net)を提案する。 MOD-Netは、データから正規化された演算子表現に基づいてPDEを解決するモデルによって駆動される。 本研究では,深層ニューラルネットワークを用いて,グリーン関数のパラメータ化を行う。 経験的リスクは、支配方程式の平均二乗、境界条件、およびいくつかのラベルで構成され、計算コストの安い粗い格子点上の従来のスキームによって数値計算される。 ラベル付きデータセットやモデル制約だけでは、複雑な問題のためにMOD-Netを正確にトレーニングするのは不十分です。 直感的には、ラベル付きデータセットはモデルの制約に加えて正規化として機能する。 MOD-Netは、純粋に高価なラベルではなく、支配方程式やPDEの境界条件の情報を使用するため、元の神経オペレータよりも効率的である。 MOD-NetはPDEのグリーン関数を学習するため、特定のケースではなく、ある種のPDEを解決する。 ポアソン方程式と1次元ボルツマン方程式の解法においてmod-netは非常に効率的であることを示す。 グリーン関数の概念が適用されない非線形 PDE に対して、非線形 MOD-Net は非線形 PDE を解くためのアンザッツとして同様に使用できる。

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