論文の概要: Measures on a Hilbert space that are invariant with respect to shifts
and orthogonal transformations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.12603v1
- Date: Sun, 26 Sep 2021 13:37:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-13 17:11:35.295882
- Title: Measures on a Hilbert space that are invariant with respect to shifts
and orthogonal transformations
- Title（参考訳）: シフトと直交変換に関して不変であるヒルベルト空間上の測度
- Authors: Vsevolod Sakbaev (1, 2 and 3) ((1) Keldysh Institute of Applied
Mathematics, (2) Steklov International Mathematical Center, (3) Moscow
Institute of Physics and Technology)
- Abstract要約: 無限次元実ヒルベルト空間上の有限加法測度 $lambda $ が定義される。
構成された測度は、可測な矩形によって生成されるヒルベルト空間の部分集合の環 $cal R$ 上で定義される。
この論文は、構成されたシフトと回転不変測度に対して平方積分可能な数値関数の空間$cal H$の構造を記述している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: A finitely-additive measure $\lambda $ on an infinite-dimensional real
Hilbert space $E$ which is invariant with respect to shifts and orthogonal
mappings has been defined. This measure can be considered as the analog of the
Lebesgue measure in the sense of its invariance with respect to the above
transformations. The constructed measure is defined on the ring $\cal R$ of
subsets of the Hilbert space generated by measurable rectangles. A measurable
rectangle is an infinite-dimensional parallelepiped such that the product of
the lengths of its edges converges unconditionally. The shift and
rotation-invariant measure is obtained as a continuation of a family of
shift-invariant measures $\lambda _{\cal E}$, where each measure $\lambda
_{\cal E}$ is defined on the ring ${\cal R}_{\cal E}$ of measurable rectangles
with edges collinear to the vectors of some orthonormal basis $\cal E$ in the
space $E$. An equivalence relation is introduced on the set of orthonormal
bases in terms of the transition matrix from one orthonormal basis to another.
The equivalence relation allows to glue measures defined on the subset rings
corresponding to different bases into the one measure $\lambda $ defined on the
unique ring $\cal R$. The obtained measure $\lambda $ is invariant with respect
to shifts and rotations. The decomposition of the measure $\lambda$ into the
sum of mutually singular shift-invariant measures is obtained. The paper
describes the structure of the space $\cal H$ of numerical functions square
integrable with respect to the constructed shift and rotation-invariant measure
$\lambda $. The decomposition of the space $\cal H$ into the orthogonal sum of
subspaces corresponding to all possible equivalence classes of bases is
obtained. Unitary groups acting by means of orthogonal transformations of the
argument in the space $\cal H$ of square integrable functions are investigated.
- Abstract（参考訳）: 有限加法測度 $\lambda $ on a infinite-dimensional real hilbert space $e$ はシフトと直交写像に関して不変である。
この測度は上記の変換に対する不変性という意味でルベーグ測度の類似と見なすことができる。
構成測度は、可測矩形によって生成されるヒルベルト空間の部分集合の環 $\cal r$ 上で定義される。
可測矩形(measurable rectangle)は無限次元平行管で、辺の長さの積が無条件に収束する。
シフトと回転不変測度は、シフト不変測度 $\lambda _{\cal e}$ の連続として得られ、各測度 $\lambda _{\cal e}$ は、空間 $e$ において任意の正規直交基底 $\cal e$ のベクトルと共線型な辺を持つ可測矩形環 ${\cal r}_{\cal e}$ 上で定義される。
ある正規直交基底から別の正規直交基底への遷移行列の観点から、同値関係が正則基底の集合上で導入される。
同値関係は、異なる基底に対応する部分環上で定義される測度を、一意な環 $\cal r$ 上で定義される1つの測度 $\lambda $ に結合することができる。
得られた測度 $\lambda $ はシフトや回転に関して不変である。
互いに特異なシフト不変測度の和への測度$\lambda$の分解を得る。
この論文では、構成されたシフトおよび回転不変測度に対して平方積分可能な数値関数の空間 $\cal H$ の構造を記述する。
基底のすべての可能な同値類に対応する部分空間の直交和への空間 $\cal h$ の分解が得られる。
平方可積分関数の空間 $\cal h$ における引数の直交変換によって作用するユニタリ群について検討する。
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