論文の概要: Exploring Quantum Average-Case Distances: proofs, properties, and
examples
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.14284v6
- Date: Wed, 1 Mar 2023 03:23:21 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-03 01:25:38.526755
- Title: Exploring Quantum Average-Case Distances: proofs, properties, and
examples
- Title（参考訳）: 量子平均ケース距離の探索:証明、性質、例
- Authors: Filip B. Maciejewski and Zbigniew Pucha{\l}a and Micha{\l} Oszmaniec
- Abstract要約: 我々は最近導入した平均ケース量子距離について検討した。
平均ケース距離は、2つの量子プロセスの測定出力間の平均トータル変量(TV)距離を近似する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this work, we perform an in-depth study of recently introduced
average-case quantum distances. The average-case distances approximate the
average Total-Variation (TV) distance between measurement outputs of two
quantum processes, in which quantum objects of interest (states, measurements,
or channels) are intertwined with random circuits. Contrary to conventional
distances, such as trace distance or diamond norm, they quantify
$\textit{average-case}$ statistical distinguishability via random circuits.
We prove that once a family of random circuits forms an $\delta$-approximate
$4$-design, with $\delta=o(d^{-8})$, then the average-case distances can be
approximated by simple explicit functions that can be expressed via degree two
polynomials in objects of interest. We prove that those functions, which we
call quantum average-case distances, have a plethora of desirable properties,
such as subadditivity, joint convexity, and (restricted) data-processing
inequalities. Notably, all of the distances utilize the Hilbert-Schmidt norm
which provides an operational interpretation it did not possess before. We also
derive upper bounds on the maximal ratio between worst-case and average-case
distances. For each dimension $d$ this ratio is at most $d^{\frac{1}{2}},\ d, \
d^{\frac{3}{2}}$ for states, measurements, and channels, respectively. To
support the practical usefulness of our findings, we study multiple examples in
which average-case quantum distances can be calculated analytically.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,最近導入された平均ケース量子距離の詳細な研究を行う。
平均ケース距離は、2つの量子プロセスの測定出力(状態、測定、チャネル)がランダム回路に絡み合う量子オブジェクトの間の平均全変量(tv)距離を近似する。
トレース距離やダイヤモンドノルムのような従来の距離とは対照的に、ランダム回路を介して$\textit{average-case}$統計微分可能性を定量化する。
ランダム回路の族が$\delta$-approximate 4$-designで$\delta=o(d^{-8})$となると、平均ケース距離は興味のある対象の次数 2 の多項式で表現できる単純な明示関数によって近似できる。
量子平均ケース距離(quantum average-case distances)と呼ばれるこれらの関数は、部分付加性、関節凸性、(制限された)データ処理の不等式など、望ましい性質の多元性を持つことを証明する。
特に、すべての距離は、それまで持っていなかった操作解釈を提供するヒルベルト=シュミットノルムを利用する。
また,最悪のケース距離と平均ケース距離の最大比率の上限も導出する。
各次元 $d$ に対して、この比は、状態、測定値、チャネルに対して、最大 $d^{\frac{1}{2}},\ d, \ d^{\frac{3}{2}}$ である。
本研究の実用性を支援するために,平均ケース量子距離を解析的に計算できる複数の例について検討した。
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