論文の概要: Parsimonious Random Projection Neural Networks for the Numerical
Solution of Initial-Value Problems of ODEs and index-1 DAEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.05337v1
- Date: Thu, 10 Mar 2022 12:34:46 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-03-11 15:28:55.039065
- Title: Parsimonious Random Projection Neural Networks for the Numerical
Solution of Initial-Value Problems of ODEs and index-1 DAEs
- Title（参考訳）: ODEとインデックス-1DAEの初期値問題の数値解に対する擬似ランダム射影ニューラルネットワーク
- Authors: Gianluca Fabiani, Evangelos Galaris, Lucia Russo, Constantinos Siettos
- Abstract要約: 非線形ODEのIDPの線形単純形式とインデックス-1DAEの数値解に対するランダムな投影に基づく物理インフォームニューラルネットワークに対処する。
従来のランダムなプロジェクションに関する研究に基づいて、正準形式におけるODEのスキームと半明示形式におけるインデックス-1DAEの近似能力を証明した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We address a physics-informed neural network based on the concept of random
projections for the numerical solution of IVPs of nonlinear ODEs in
linear-implicit form and index-1 DAEs, which may also arise from the spatial
discretization of PDEs. The scheme has a single hidden layer with appropriately
randomly parametrized Gaussian kernels and a linear output layer, while the
internal weights are fixed to ones. The unknown weights between the hidden and
output layer are computed by Newton's iterations, using the Moore-Penrose
pseudoinverse for low to medium, and sparse QR decomposition with
regularization for medium to large scale systems. To deal with stiffness and
sharp gradients, we propose a variable step size scheme for adjusting the
interval of integration and address a continuation method for providing good
initial guesses for the Newton iterations. Based on previous works on random
projections, we prove the approximation capability of the scheme for ODEs in
the canonical form and index-1 DAEs in the semiexplicit form. The optimal
bounds of the uniform distribution are parsimoniously chosen based on the
bias-variance trade-off. The performance of the scheme is assessed through
seven benchmark problems: four index-1 DAEs, the Robertson model, a model of
five DAEs describing the motion of a bead, a model of six DAEs describing a
power discharge control problem, the chemical Akzo Nobel problem and three
stiff problems, the Belousov-Zhabotinsky, the Allen-Cahn PDE and the
Kuramoto-Sivashinsky PDE. The efficiency of the scheme is compared with three
solvers ode23t, ode23s, ode15s of the MATLAB ODE suite. Our results show that
the proposed scheme outperforms the stiff solvers in several cases, especially
in regimes where high stiffness or sharp gradients arise in terms of numerical
accuracy, while the computational costs are for any practical purposes
comparable.
- Abstract（参考訳）: PDEの空間的離散化から生じるかもしれない非線形ODEのIDPの数値解とインデックス-1DAEの数値解に対するランダムなプロジェクションの概念に基づく物理インフォームニューラルネットワークに対処する。
このスキームは、適切にランダムにパラメータ化されたガウス核と線形出力層を持つ単一の隠れ層を持ち、内部重みは1つに固定される。
隠蔽層と出力層の間の未知の重みはニュートンの反復によって計算され、ムーア-ペンローズ擬似逆数(英語版)を中規模から大規模に正規化したスパースQR分解を用いて計算される。
剛性および鋭い勾配に対処するために,積分間隔を調整する可変ステップサイズスキームを提案し,ニュートン反復に対するよい初期推定を提供する継続法に対処する。
従来のランダムなプロジェクションに関する研究に基づいて、正準形式におけるODEのスキームと半明示形式におけるインデックス-1DAEの近似能力を証明した。
均一分布の最適境界はバイアス分散トレードオフに基づいて同義に選択される。
4つのインデックス-1 DAE、ロバートソンモデル、ビーズの動作を記述する5つのDAEのモデル、放電制御問題を記述する6つのDAEのモデル、化学アクゾノーベル問題と3つの固い問題、ベルーソフ・ザボチンスキー、アレン・カーン PDE、そして倉本・シヴァシンスキー PDEである。
この方式の効率は、MATLAB ODE スイートの3つの解法 ode23t, ode23s, ode15s と比較される。
提案手法は,特に数値精度の面で高い剛性や鋭い勾配が生じ,計算コストは実用上同等である場合において,いくつかの場合において剛性解法よりも優れることを示す。
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