論文の概要: Counting stabiliser codes for arbitrary dimension
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.01449v1
- Date: Sat, 3 Sep 2022 15:22:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-28 01:36:14.562984
- Title: Counting stabiliser codes for arbitrary dimension
- Title（参考訳）: 任意の次元に対するstabiliser符号の数え上げ
- Authors: Tanmay Singal, Che Chiang, Eugene Hsu, Eunsang Kim, Hsi-Sheng Goan and
Min-Hsiu Hsieh
- Abstract要約: 任意の正の整数に対して$d$-dimensional qudits からなる $[[n,k]]_d$ 安定化符号の数を計算する。
私たちの仕事は、$d$が素数であるときのRef.22と重なり、この場合の結果は正確に一致するが、より一般的なケースでは結果が異なる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.52571197166768
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In this work, we compute the number of $[[n,k]]_d$ stabiliser codes made up
of $d$-dimensional qudits, for arbitrary positive integers $d$. In a seminal
work by Gross (Ref. 22) the number of $[[n,k]]_d$ stabilizer codes was computed
for the case when $d$ is a prime (or the power of a prime, i.e., $d=p^m$, but
when the qudits are Galois-qudits). The proof in Ref. 22 is inapplicable to the
non-prime case. For our proof, we introduce a group structure to $[[n,k]]_d$
codes, and use this in conjunction with the Chinese remainder theorem to count
the number of $[[n,k]]_d$ codes. Our work overlaps with Ref. 22 when $d$ is a
prime and in this case our results match exactly, but the results differ for
the more generic case. Despite that, the overall order of magnitude of the
number of stabilizer codes scales agnostic of whether the dimension is prime or
non-prime. This is surprising since the method employed to count the number of
stabilizer states (or more generally stabilizer codes) depends on whether $d$
is prime or not. The cardinality of stabilizer states, which was so far known
only for the prime-dimensional case (and the Galois qudit prime-power
dimensional case) plays an important role as a quantifier in many topics in
quantum computing. Salient among these are the resource theory of magic, design
theory, de Finetti theorem for stabilizer states, the study and optimisation of
the classical simulability of Clifford circuits, the optimal verification of
stabilizer states, the study of quantum contextuality of small-dimensional
systems and the study of Wigner-functions. Our work makes available this
quantifier for the generic case, and thus is an important step needed to place
results for quantum computing with non-prime dimensional quantum systems on the
same pedestal as prime-dimensional systems.
- Abstract（参考訳）: この作業では、任意の正の整数$d$に対して、$d$-dimensional qudits からなる $[[n,k]]_d$安定化器符号の数を計算します。
gross (ref. 22) による独創的な著作において、$[[n,k]]_d$安定化符号は、$d$ が素数である場合(または素数、すなわち $d=p^m$ である場合、qudit がガロア・クイットである場合)に計算された。
第22条の証明は,非プライム事件には適用できない。
この証明のために、グループ構造を $[n,k]]_d$ コードに導入し、これを中国の剰余定理と組み合わせて $[[n,k]]_d$ コードの数を数える。
我々の仕事は、$d$がプライムであり、この場合の結果が正確に一致するとき、 ref.22と重なるが、より一般的な場合では結果が異なる。
それにもかかわらず、安定化符号の総桁数は、その次元が素数であるか非素数であるかに依存しない。
これは、安定化状態の数(またはより一般に安定化符号)を数えるために使われる方法が$d$が素数であるかどうかに依存するため、驚くべきことである。
安定状態の濃度は、素数次元の場合(およびガロア・クディット素数-パワー次元の場合)でしか知られていなかったが、量子コンピューティングにおける多くの話題において量子化器として重要な役割を果たす。
その中には、魔法の資源理論、設計理論、安定化器状態に対するデ・フィネッティの定理、クリフォード回路の古典的シミュラビリティの研究と最適化、安定化器状態の最適検証、小次元系の量子的文脈性の研究、ウィグナー関数の研究などが含まれる。
我々の研究は、一般の場合でこの量子化器を利用できるので、素数次元でない量子系を素数次元系と同じ台座に配置する上で重要なステップである。
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