論文の概要: Sample optimal tomography of quantum Markov chains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.02240v1
• Date: Tue, 6 Sep 2022 06:30:37 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-27 18:37:08.181564
• Title: Sample optimal tomography of quantum Markov chains
• Title（参考訳）: 量子マルコフ鎖のサンプル最適トモグラフィー
• Authors: Li Gao, and Nengkun Yu
• Abstract要約: 三部量子系上の状態 $mathcalH_Aotimes MathcalH_B$ はマルコフ連鎖、すなわち量子条件独立性、すなわち$mathcalH_Aotimes MathcalH_B$ の限界から再構成可能である。 $mathcalH_B$から$mathcalH_BotimesmathcalH_C$への量子演算
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 23.427626096032803
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: A state on a tripartite quantum system $\mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{C} $ forms a Markov chain, i.e., quantum conditional independence, if it can be reconstructed from its marginal on $\mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B}$ by a quantum operation from $\mathcal{H}_{B}$ to $\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{C}$ via the famous Petz map: a quantum Markov chain $\rho_{ABC}$ satisfies $\rho_{ABC}=\rho_{BC}^{1/2}(\rho_B^{-1/2}\rho_{AB}\rho_B^{-1/2}\otimes id_C)\rho_{BC}^{1/2}$. In this paper, we study the robustness of the Petz map for different metrics, i.e., the closeness of marginals implies the closeness of the Petz map outcomes. The robustness results are dimension-independent for infidelity $\delta$ and trace distance $\epsilon$. The applications of robustness results are The sample complexity of quantum Markov chain tomography, i.e., how many copies of an unknown quantum Markov chain are necessary and sufficient to determine the state, is $\tilde{\Theta}(\frac{(d_A^2+d_C^2)d_B^2}{\delta})$, and $\tilde{\Theta}(\frac{(d_A^2+d_C^2)d_B^2}{\epsilon^2}) $. The sample complexity of quantum Markov Chain certification, i.e., to certify whether a tripartite state equals a fixed given quantum Markov Chain $\sigma_{ABC}$ or at least $\delta$-far from $\sigma_{ABC}$, is ${\Theta}(\frac{(d_A+d_C)d_B}{\delta})$, and ${\Theta}(\frac{(d_A+d_C)d_B}{\epsilon^2})$. $\tilde{O}(\frac{\min\{d_Ad_B^3d_C^3,d_A^3d_B^3d_C\}}{\epsilon^2})$ copies to test whether $\rho_{ABC}$ is a quantum Markov Chain or $\epsilon$-far from its Petz recovery state. We generalized the tomography results into multipartite quantum system by showing $\tilde{O}(\frac{n^2\max_{i} \{d_i^2d_{i+1}^2\}}{\delta})$ copies for infidelity $\delta$ are enough for $n$-partite quantum Markov chain tomography with $d_i$ being the dimension of the $i$-th subsystem.
• Abstract（参考訳）: A state on a tripartite quantum system $\mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{C} $ forms a Markov chain, i.e., quantum conditional independence, if it can be reconstructed from its marginal on $\mathcal{H}_{A}\otimes \mathcal{H}_{B}$ by a quantum operation from $\mathcal{H}_{B}$ to $\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{C}$ via the famous Petz map: a quantum Markov chain $\rho_{ABC}$ satisfies $\rho_{ABC}=\rho_{BC}^{1/2}(\rho_B^{-1/2}\rho_{AB}\rho_B^{-1/2}\otimes id_C)\rho_{BC}^{1/2}$. 本稿では,異なる指標に対するpetzマップのロバスト性,すなわち,petzマップの結果の近さを示す辺の近さについて検討する。 ロバスト性の結果は不忠実$\delta$とトレース距離$\epsilon$に対して次元に依存しない。 量子マルコフ連鎖トモグラフィーのサンプル複雑性、すなわち、状態を決定するために未知の量子マルコフ鎖のコピーがいくつ必要で十分であるかは、$\tilde{\Theta}(\frac{(d_A^2+d_C^2)d_B^2}{\delta})$、$\tilde{\Theta}(\frac{(d_A^2+d_C^2)d_B^2}{\epsilon^2})$である。 量子マルコフ鎖証明のサンプル複雑性、すなわち、三成分状態が固定された量子マルコフ鎖 $\sigma_{abc}$ または少なくとも$\delta$-far が$\sigma_{abc}$ から等しいかどうかを証明するために、${\theta}(\frac{(d_a+d_c)d_b}{\delta})$、${\theta}(\frac{(d_a+d_c)d_b}{\epsilon^2})$である。 $\tilde{O}(\frac{\min\{d_Ad_B^3d_C^3,d_A^3d_B^3d_C\}}{\epsilon^2})$\rho_{ABC}$が量子マルコフ連鎖か、またはペッツ回復状態から$\epsilon$-farかをテストするための$コピー。 トモグラフィーの結果を多成分量子系に一般化し、$\tilde{o}(\frac{n^2\max_{i} \{d_i^2d_{i+1}^2\}}{\delta}) のコピーで、$n$ の量子マルコフ連鎖トモグラフィーには$d_i$ が十分であることを示した。

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