論文の概要: A Unified Hard-Constraint Framework for Solving Geometrically Complex PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.03526v1
• Date: Thu, 6 Oct 2022 06:19:33 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-10 14:34:45.128477
• Title: A Unified Hard-Constraint Framework for Solving Geometrically Complex PDEs
• Title（参考訳）: 幾何学的複素PDEを解くための統一ハード制約フレームワーク
• Authors: Songming Liu, Zhongkai Hao, Chengyang Ying, Hang Su, Jun Zhu, Ze Cheng
• Abstract要約: ニューラルネットワークを用いて幾何学的に複雑なPDEを解くための統一的なフレームワークを提案する。 まず、混合有限要素法から「外部場」を導入し、PDEを再構成する。 我々は、BCの一般的な解を解析的に導き出し、BCに自動的に満足するアンザッツを構築するために使用される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 25.52271761404213
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a unified hard-constraint framework for solving geometrically complex PDEs with neural networks, where the most commonly used Dirichlet, Neumann, and Robin boundary conditions (BCs) are considered. Specifically, we first introduce the "extra fields" from the mixed finite element method to reformulate the PDEs so as to equivalently transform the three types of BCs into linear forms. Based on the reformulation, we derive the general solutions of the BCs analytically, which are employed to construct an ansatz that automatically satisfies the BCs. With such a framework, we can train the neural networks without adding extra loss terms and thus efficiently handle geometrically complex PDEs, alleviating the unbalanced competition between the loss terms corresponding to the BCs and PDEs. We theoretically demonstrate that the "extra fields" can stabilize the training process. Experimental results on real-world geometrically complex PDEs showcase the effectiveness of our method compared with state-of-the-art baselines.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,最もよく用いられるディリクレ,ノイマン,ロビン境界条件(bcs)を考えるニューラルネットワークを用いて,幾何学的に複雑なpdesを解決するための統一的ハードコンストラクションフレームワークを提案する。 具体的には、まず混合有限要素法から「外部場」を導入し、PDEを3種類のBCを等価に線形形式に変換するように再構成する。 改革に基づいて、BCの一般的な解を解析的に導き、BCに自動的に満足するアンザッツを構築するために使用される。 このようなフレームワークを用いることで、余分な損失項を加えることなくニューラルネットワークをトレーニングし、幾何学的に複雑なPDEを効率的に処理し、BCとPDEに対応する損失項間の不均衡な競合を軽減することができる。 理論上は,「エクストラフィールド」がトレーニングプロセスを安定化できることを実証する。 実世界の幾何学的複素PDEの実験結果は,最先端のベースラインと比較して,本手法の有効性を示した。

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