論文の概要: A theory of quantum differential equation solvers: limitations and fast-forwarding

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.05246v1
• Date: Wed, 9 Nov 2022 22:50:14 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-19 20:32:38.018362
• Title: A theory of quantum differential equation solvers: limitations and fast-forwarding
• Title（参考訳）: 量子微分方程式解法の理論:限界と高速フォワード
• Authors: Dong An, Jin-Peng Liu, Daochen Wang, Qi Zhao
• Abstract要約: 量子アルゴリズムは2種類の非量子性に起因する計算オーバーヘッドに悩まされている」。 次に、両タイプの非量子性を持たないODEは量子力学と等価であることを示す。 本稿では、ODEの特殊クラスを解くための高速フォワード量子アルゴリズムについて述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 19.080267236745623
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the limitations and fast-forwarding of quantum algorithms for solving linear ordinary differential equation (ODE) systems with particular focus on non-quantum dynamics, where the coefficient matrix in the ODE is not anti-Hermitian or the ODE is inhomogeneous. On the one hand, for generic homogeneous linear ODEs, by proving worst-case lower bounds, we show that quantum algorithms suffer from computational overheads due to two types of ``non-quantumness'': real part gap and non-normality of the coefficient matrix. We then show that ODEs in the absence of both types of ``non-quantumness'' are equivalent to quantum dynamics, and reach the conclusion that quantum algorithms for quantum dynamics work best. We generalize our results to the inhomogeneous case and find that existing generic quantum ODE solvers cannot be substantially improved. To obtain these lower bounds, we propose a general framework for proving lower bounds on quantum algorithms that are amplifiers, meaning that they amplify the difference between a pair of input quantum states. On the other hand, we show how to fast-forward quantum algorithms for solving special classes of ODEs which leads to improved efficiency. More specifically, we obtain quadratic to exponential improvements in terms of the evolution time $T$ and the spectral norm of the coefficient matrix for the following classes of ODEs: inhomogeneous ODEs with a negative definite coefficient matrix, inhomogeneous ODEs with a coefficient matrix having an eigenbasis that can be efficiently prepared on a quantum computer and eigenvalues that can be efficiently computed classically, and the spatially discretized inhomogeneous heat equation and advection-diffusion equation. We give fast-forwarding algorithms that are conceptually different from existing ones in the sense that they neither require time discretization nor solving high-dimensional linear systems.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,非量子力学に着目した線形常微分方程式(ode)方程式の解法における量子アルゴリズムの限界と高速解法について検討する。 一方,一様線形 ode に対して,最悪の場合の下限を証明すれば,量子アルゴリズムは'非量子性' の実部ギャップと係数行列の非正規性 (non-normality of the coefficient matrix) という2つのタイプの'非量子性'によって計算上のオーバーヘッドを負うことが分かる。 両タイプの「非量子性」が存在しないodeは量子力学と同値であることを示し、量子力学の量子アルゴリズムが最善であるという結論に達した。 その結果を不均質な場合に一般化し、既存の一般的な量子 ode ソルバが大幅に改善できないことを見出す。 これらの下位境界を得るために、増幅器である量子アルゴリズムの下位境界を証明するための一般的な枠組みを提案し、入力された量子状態のペアの違いを増幅する。 一方,odeの特殊クラスを高速に解くための量子アルゴリズムを提案することで,効率が向上することを示す。 More specifically, we obtain quadratic to exponential improvements in terms of the evolution time $T$ and the spectral norm of the coefficient matrix for the following classes of ODEs: inhomogeneous ODEs with a negative definite coefficient matrix, inhomogeneous ODEs with a coefficient matrix having an eigenbasis that can be efficiently prepared on a quantum computer and eigenvalues that can be efficiently computed classically, and the spatially discretized inhomogeneous heat equation and advection-diffusion equation. 我々は、時間離散化や高次元線形システムの解法を必要としないという意味で、既存のものと概念的に異なる高速フォワードアルゴリズムを提供する。

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