論文の概要: Planar #CSP Equality Corresponds to Quantum Isomorphism -- A Holant
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- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.03335v1
- Date: Tue, 6 Dec 2022 21:38:40 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-09 18:32:17.127953
- Title: Planar #CSP Equality Corresponds to Quantum Isomorphism -- A Holant
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- Title（参考訳）: 平面 #csp 等式は量子同型に対応する -- 正則的視点
- Authors: Jin-Yi Cai (University of Wisconsin-Madison) and Ben Young (University
of Wisconsin-Madison)
- Abstract要約: 最近、Manvcinska と Roberson は、2つのグラフ $G$ と $G'$ が量子同型であることを証明した。
実数値で任意のアリティ制約関数の任意の組 $mathcalF$ と $mathcalF'$ で、この結果をプランナー #CSP に拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Recently, Man\v{c}inska and Roberson proved that two graphs $G$ and $G'$ are
quantum isomorphic if and only if they admit the same number of homomorphisms
from all planar graphs. We extend this result to planar #CSP with any pair of
sets $\mathcal{F}$ and $\mathcal{F}'$ of real-valued, arbitrary arity
constraint functions. Graph homomorphism is the special case where each of
$\mathcal{F}$ and $\mathcal{F}'$ contain a single symmetric 0-1 valued binary
constraint function. Our treatment uses the framework of planar Holant
problems. To prove that quantum isomorphic constraint function sets give the
same value on any planar #CSP instance, we apply a novel form of holographic
transformation of Valiant, using the magic unitary matrix over a $C^*$-algebra
defining the quantum isomorphism. Due to the $C^*$-algebra's noncommutativity,
it turns out that this form of holographic transformation is only applicable to
planar Holant. To prove the converse, we introduce the quantum automorphism
group $\text{Qut}(\mathcal{F})$ of a set of constraint functions/tensors
$\mathcal{F}$, and characterize the intertwiners of $\text{Qut}(\mathcal{F})$
as the signature matrices of planar $\text{Holant}(\mathcal{F} \mid
\mathcal{EQ})$ quantum gadgets. Then we define a new notion of (projective)
connectivity for constraint functions and reduce arity while preserving the
quantum automorphism group. Finally, to address the challenges posed by
generalizing from 0-1 valued to real-valued constraint functions, we adapt a
technique of Lov\'asz in the classical setting for isomorphisms of
real-weighted graphs to the setting of quantum isomorphisms.
- Abstract（参考訳）: 最近、man\v{c}inska と roberson は、2つのグラフ $g$ と $g'$ が量子同型であると証明した。
この結果は、任意の集合の組 $\mathcal{F}$ と $\mathcal{F}'$ で、実数値で任意のアリティ制約関数を持つ平面 #CSP に拡張する。
グラフ準同型は、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{F}'$ のそれぞれが 1 つの対称な 0-1 値のバイナリ制約関数を含む特別な場合である。
我々の治療は平面ホラント問題の枠組みを用いる。
量子同型制約函数集合が任意の平面#CSPインスタンスに同じ値を与えることを証明するために、量子同型を定義する$C^*$-algebra上のマジックユニタリ行列を用いて、ヴァリアントのホログラフィック変換の新しい形式を適用する。
C^*$-代数の非可換性のため、この形のホログラフィック変換は平面ホラントにのみ適用可能であることが判明した。
この逆を証明するために、量子自己同型群 $\text{Qut}(\mathcal{F})$ の制約関数/テンソルの集合 $\mathcal{F}$ を導入し、プランナー $\text{Holant}(\mathcal{F}) \mid \mathcal{EQ})$ のシグネチャ行列として $\text{Qut}(\mathcal{F})$ のインターツウィンダーを特徴付ける。
次に、制約函数に対する(射影)接続の新しい概念を定義し、量子自己同型群を維持しながらアーリティーを減少させる。
最後に、0-1 から実値制約関数への一般化によって生じる課題に対処するため、実重み付きグラフの同型に関する古典的設定において、lov\'asz のテクニックを量子同型の設定に適用する。
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