論文の概要: Can Physics-Informed Neural Networks beat the Finite Element Method?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2302.04107v1
• Date: Wed, 8 Feb 2023 15:01:21 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-02-09 16:02:24.964124
• Title: Can Physics-Informed Neural Networks beat the Finite Element Method?
• Title（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークは有限要素法に勝てるか?
• Authors: Tamara G. Grossmann, Urszula Julia Komorowska, Jonas Latz, Carola-Bibiane Sch\"onlieb
• Abstract要約: 偏微分方程式は、多くのプロセスやシステムの数学的モデリングにおいて基本的な役割を果たす。 様々な近似タスクにおけるディープニューラルネットワークの成功は、PDEの数値解における彼らの利用を動機付けている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1470070927586016
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Partial differential equations play a fundamental role in the mathematical modelling of many processes and systems in physical, biological and other sciences. To simulate such processes and systems, the solutions of PDEs often need to be approximated numerically. The finite element method, for instance, is a usual standard methodology to do so. The recent success of deep neural networks at various approximation tasks has motivated their use in the numerical solution of PDEs. These so-called physics-informed neural networks and their variants have shown to be able to successfully approximate a large range of partial differential equations. So far, physics-informed neural networks and the finite element method have mainly been studied in isolation of each other. In this work, we compare the methodologies in a systematic computational study. Indeed, we employ both methods to numerically solve various linear and nonlinear partial differential equations: Poisson in 1D, 2D, and 3D, Allen-Cahn in 1D, semilinear Schr\"odinger in 1D and 2D. We then compare computational costs and approximation accuracies. In terms of solution time and accuracy, physics-informed neural networks have not been able to outperform the finite element method in our study. In some experiments, they were faster at evaluating the solved PDE.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式は、物理、生物学的、その他の科学における多くのプロセスやシステムの数学的モデリングにおいて基本的な役割を果たす。 このようなプロセスやシステムをシミュレートするには、PDEの解を数値的に近似する必要があることが多い。 例えば、有限要素法(英語版)は通常の標準的な方法である。 様々な近似タスクにおけるディープニューラルネットワークの成功は、PDEの数値解における彼らの利用を動機付けている。 これらの物理インフォームドニューラルネットワークとその変種は、幅広い偏微分方程式をうまく近似できることが示されている。 これまでのところ、物理インフォームドニューラルネットワークと有限要素法は主に互いに分離して研究されている。 本研究では,本手法を系統的計算研究で比較する。 実際、線形および非線形偏微分方程式の数値解法は、Poisson in 1D, 2D, 3D, Allen-Cahn in 1D, semilinear Schr\odinger in 1D and 2Dである。 次に計算コストと近似確率を比較する。 解の時間と精度の面では、物理インフォームドニューラルネットワークは、我々の研究において有限要素法よりも優れていなかった。 いくつかの実験では、解いたPDEを評価するのが速い。

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