論文の概要: Partial Differential Equations Meet Deep Neural Networks: A Survey
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.05567v1
- Date: Thu, 27 Oct 2022 07:01:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-11-13 23:38:39.780027
- Title: Partial Differential Equations Meet Deep Neural Networks: A Survey
- Title（参考訳）: ディープニューラルネットワークに適合する偏微分方程式:調査
- Authors: Shudong Huang, Wentao Feng, Chenwei Tang, Jiancheng Lv
- Abstract要約: 科学と工学の問題は、数学的モデリングを通して偏微分方程式(PDE)の集合で表すことができる。
PDEに続くメカニズムベースの計算は、長い間、計算流体力学のようなトピックを研究する上で欠かせないパラダイムであった。
PDEを解く効果的な手段として、深層ニューラルネットワーク(DNN)が登場している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.817323756266527
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Many problems in science and engineering can be represented by a set of
partial differential equations (PDEs) through mathematical modeling.
Mechanism-based computation following PDEs has long been an essential paradigm
for studying topics such as computational fluid dynamics, multiphysics
simulation, molecular dynamics, or even dynamical systems. It is a vibrant
multi-disciplinary field of increasing importance and with extraordinary
potential. At the same time, solving PDEs efficiently has been a long-standing
challenge. Generally, except for a few differential equations for which
analytical solutions are directly available, many more equations must rely on
numerical approaches such as the finite difference method, finite element
method, finite volume method, and boundary element method to be solved
approximately. These numerical methods usually divide a continuous problem
domain into discrete points and then concentrate on solving the system at each
of those points. Though the effectiveness of these traditional numerical
methods, the vast number of iterative operations accompanying each step forward
significantly reduces the efficiency. Recently, another equally important
paradigm, data-based computation represented by deep learning, has emerged as
an effective means of solving PDEs. Surprisingly, a comprehensive review for
this interesting subfield is still lacking. This survey aims to categorize and
review the current progress on Deep Neural Networks (DNNs) for PDEs. We discuss
the literature published in this subfield over the past decades and present
them in a common taxonomy, followed by an overview and classification of
applications of these related methods in scientific research and engineering
scenarios. The origin, developing history, character, sort, as well as the
future trends in each potential direction of this subfield are also introduced.
- Abstract（参考訳）: 科学と工学における多くの問題は、数学的モデリングを通して偏微分方程式(PDE)の集合で表される。
PDEに続くメカニズムベースの計算は、長い間、計算流体力学、多物理シミュレーション、分子動力学、さらには力学システムといった分野の研究に欠かせないパラダイムであった。
重要性が増し、異常な可能性を持つ、活気ある多分野の分野である。
同時に、PDEの効率的な解決は長年にわたる課題でした。
一般に、解析解が直接利用可能となるいくつかの微分方程式を除いて、多くの方程式は、およそ解決される有限差分法、有限要素法、有限体積法、境界要素法といった数値的な方法に依存する必要がある。
これらの数値法は通常、連続問題領域を離散点に分割し、各点におけるシステムの解法に集中する。
従来の数値法の有効性はあるものの、各ステップに付随する多数の反復演算が効率を著しく低下させる。
近年、深層学習に代表されるデータベースの計算が、PDEを解く効果的な方法として登場した。
驚いたことに、この興味深いサブフィールドの包括的なレビューはまだ欠けている。
この調査は、PDEのDeep Neural Networks(DNN)の現状を分類し、レビューすることを目的としている。
我々は,過去数十年にわたってこのサブフィールドで発行された文献について議論し,それらを共通の分類法として提示し,その関連手法の科学的研究と工学的シナリオへの応用の概要と分類を行った。
このサブフィールドの各潜在的な方向における起源、発達史、性格、ソート、および将来のトレンドも紹介されている。
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