論文の概要: A Menagerie of Symmetry Testing Quantum Algorithms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.14560v1
- Date: Tue, 23 May 2023 22:55:02 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-25 21:27:32.697729
- Title: A Menagerie of Symmetry Testing Quantum Algorithms
- Title（参考訳）: 量子アルゴリズムの対称性試験のメナジェリー
- Authors: Margarite L. LaBorde
- Abstract要約: 離散有限群から対称性の概念を生成する方法と、これが連続群に一般化される方法を示す。
我々は、ハミルトニアンが群に対して対称性を示すかどうかをテストすることができる量子アルゴリズムを提案する。
各アルゴリズムの受理確率は、テスト中の状態の最大対称忠実度に等しいことを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This thesis aims to establish notions of symmetry for quantum states and
channels as well as describe algorithms to test for these properties on quantum
computers. Ideally, the work will serve as a self-contained overview of the
subject. We begin by establishing the necessary mathematical background. We
show how to generate a notion of symmetry from a discrete, finite group and how
this generalizes to a continuous group. We then use these notions to
investigate Hamiltonian symmetries. We propose quantum algorithms capable of
testing whether a Hamiltonian exhibits symmetry with respect to a group and
show that this algorithm is DQC1-Complete. We next discuss tests of symmetry
for quantum states. We prove that the acceptance probability of each algorithm
is equal to the maximum symmetric fidelity of the state being tested and
establish various generalizations of the resource theory of asymmetry. In the
next chapter, we show that the analytical form of the acceptance probability of
such a test is given by the cycle index polynomial of the symmetric group
$S_k$. We derive a family of quantum separability tests, each of which is
generated by a finite group; for all such algorithms, we show that the
acceptance probability is determined by the cycle index polynomial of the
group. Finally, we produce and analyze explicit circuit constructions for these
tests, showing that the tests corresponding to the symmetric and cyclic groups
can be executed with $O(k^2)$ and $O(k\log(k))$ controlled-SWAP gates,
respectively, where $k$ is the number of copies of the state. Finally, we
include additional results not previously published; specifically, we give a
test for symmetry of a quantum state using density matrix exponentiation, a
further result of Hamiltonian symmetry measurements when using Abelian groups,
and an alternate Hamiltonian symmetry test construction for a block-encoded
Hamiltonian.
- Abstract（参考訳）: この論文は、量子状態とチャネルの対称性の概念を確立し、量子コンピュータ上でこれらの特性をテストするアルゴリズムを記述することを目的としている。
理想的には、この作品は主題の自己完結型概観として機能する。
まず、必要な数学的背景を確立することから始める。
離散有限群から対称性の概念を生成する方法と、それが連続群にどのように一般化するかを示す。
次にこれらの概念をハミルトン対称性の研究に用いる。
本稿では、ハミルトニアンが群に対して対称性を示すかどうかを検証できる量子アルゴリズムを提案し、このアルゴリズムがDQC1-Completeであることを示す。
次に量子状態の対称性のテストについて論じる。
各アルゴリズムの受容確率は、テスト中の状態の最大対称忠実度と等しいことを証明し、非対称性の資源理論の様々な一般化を確立する。
次の章では、そのようなテストの受理確率の分析形式が対称群 $S_k$ のサイクル指数多項式によって与えられることを示す。
各々が有限群によって生成される量子分離可能性テストの族を導出し、そのようなすべてのアルゴリズムに対して、受け入れ確率は群のサイクル指数多項式によって決定されることを示す。
最後に、これらのテストのための明示的な回路構成を作成し分析し、対称群と巡回群に対応するテストがそれぞれ$o(k^2)$と$o(k\log(k))$制御スワップゲートで実行され、そこで$k$が状態のコピー数であることを示した。
最後に、これまでに公表されていない追加の結果、具体的には密度行列指数を用いた量子状態の対称性のテスト、アベリア群を用いたハミルトン対称性測定のさらなる結果、ブロック符号化されたハミルトニアンに対する代替ハミルトニアン対称性試験構築を含む。
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