論文の概要: Quantum R\'enyi and $f$-divergences from integral representations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.12343v1
• Date: Wed, 21 Jun 2023 15:39:38 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-22 12:48:50.876768
• Title: Quantum R\'enyi and $f$-divergences from integral representations
• Title（参考訳）: 積分表現からの量子R'enyiと$f$-divergences
• Authors: Christoph Hirche, Marco Tomamichel
• Abstract要約: Smooth Csisz'ar $f$-divergences はいわゆるホッケースティックの発散に対する積分として表すことができる。 R'enyi の発散は、新しい量子 $f$-divergences によって定義されるが、一般には加法ではない。 我々は、差分プライバシーの応用と新しい逆ピンスカー不等式を含む様々な不等式を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.513645771137185
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Smooth Csisz\'ar $f$-divergences can be expressed as integrals over so-called hockey stick divergences. This motivates a natural quantum generalization in terms of quantum Hockey stick divergences, which we explore here. Using this recipe, the Kullback-Leibler divergence generalises to the Umegaki relative entropy, in the integral form recently found by Frenkel. We find that the R\'enyi divergences defined via our new quantum $f$-divergences are not additive in general, but that their regularisations surprisingly yield the Petz R\'enyi divergence for $\alpha < 1$ and the sandwiched R\'enyi divergence for $\alpha > 1$, unifying these two important families of quantum R\'enyi divergences. Moreover, we find that the contraction coefficients for the new quantum $f$ divergences collapse for all $f$ that are operator convex, mimicking the classical behaviour and resolving some long-standing conjectures by Lesniewski and Ruskai. We derive various inequalities, including new reverse Pinsker inequalites with applications in differential privacy and also explore various other applications of the new divergences.
• Abstract（参考訳）: 滑らかな csisz\'ar $f$-divergences は、いわゆるホッケースティックダイバージェンス上の積分として表現できる。 これは、量子ホッケースティックの多様性という観点からの自然な量子一般化を動機付けている。 このレシピを用いて、kullback-leibler divergenceは、最近frenkelによって発見された積分形式の梅垣相対エントロピーに一般化する。 我々の新しい量子$f$-発散によって定義されるR'enyiの発散は一般に加法的ではないが、それらの正規化は驚くほど、Petz R'enyiの発散を$\alpha < 1$で、サンドイッチされたR'enyiの発散を$\alpha > 1$で、これら2つの重要な量子R'enyi発散を統一することを発見した。 さらに、新しい量子数 $f$ の縮約係数は作用素凸であるすべての$f$ に対して崩壊し、古典的振る舞いを模倣し、lesniewski と ruskai によるいくつかの長年の予想を解いた。 我々は、差分プライバシーの応用を伴う新しい逆ピンスカー不等式を含む様々な不等式を導出し、また、新しい相違点の様々な応用を探索する。

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