論文の概要: A New $q$-Heisenberg Algebra

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.04248v1
• Date: Sat, 31 May 2025 20:16:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-06 21:53:49.297044
• Title: A New $q$-Heisenberg Algebra
• Title（参考訳）: 新しい$q$-Heisenberg Algebra
• Authors: Julio Cesar Jaramillo Quiceno,
• Abstract要約: ハイゼンベルク代数の新規な$q$-$hbar$変形を導入する。 結果として得られる構造は、量子平面 citeYuri-Manin2010 と、リー代数準同型 citeReyes2014a に関連する代数を包含することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This work introduces a novel $q$-$\hbar$ deformation of the Heisenberg algebra, designed to unify and extend several existing $q$-deformed formulations. Starting from the canonical Heisenberg algebra defined by the commutation relation $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ on a Hilbert space \cite{Zettili2009}, we survey a variety of $q$-deformed structures previously proposed by Wess \cite{Wess2000}, Schm\"udgen \cite{Schmudgen1999}, Wess--Schwenk \cite{Wess-Schwenk1992}, Gaddis \cite{Jasson-Gaddis2016}, and others. These frameworks involve position, momentum, and auxiliary operators that satisfy nontrivial commutation rules and algebraic relations incorporating deformation parameters. Our new $q$-$\hbar$ Heisenberg algebra $\mathcal{H}_q$ is generated by elements $\hat{x}_\alpha$, $\hat{y}_\lambda$, and $\hat{p}_\beta$ with $\alpha, \lambda, \beta \in \{1,2,3\}$, and is defined through generalized commutation relations parameterized by real constants $n, m, l$ and three dynamical functions $\Psi(q)$, $\Phi(q)$, and $\Pi(q)$ depending on the deformation parameter $q$ and the generators. By selecting appropriate values for these parameters and functions, our framework recovers several well-known algebras as special cases, including the classical Heisenberg algebra for $q = 1$ and $\Psi = 1$, $\Phi = \Pi = 0$, and various $q$-deformed algebras for $q \neq 1$. The algebraic consistency of these generalizations is demonstrated through a series of explicit examples, and the resulting structures are shown to align with quantum planes \cite{Yuri-Manin2010} and enveloping algebras associated with Lie algebra homomorphisms \cite{Reyes2014a}. This construction offers a flexible and unified formalism for studying quantum deformations, with potential applications in quantum mechanics, noncommutative geometry, and quantum group theory.
• Abstract（参考訳）: この研究は、ハイゼンベルク代数の新規な$q$-$\hbar$変形を導入し、既存の$q$変形形式を統一および拡張するために設計された。 可換関係 $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ on a Hilbert space \cite{Zettili2009} から、Wess \cite{Wess2000}, Schm\"udgen \cite{Schmudgen1999}, Wess--Schwenk \cite{Wess-Schwenk1992}, Gaddis \cite{Jasson-Gaddis2016} などによって提案された様々な$q$変形構造を調査する。 これらのフレームワークは、非自明な可換規則を満たす位置、運動量、補助作用素と変形パラメータを含む代数的関係を含む。 我々の新しい$q$-$\hbar$ Heisenberg algebra $\mathcal{H}_q$ は、要素 $\hat{x}_\alpha$, $\hat{y}_\lambda$, and $\hat{p}_\beta$ with $\alpha, \lambda, \beta \in \{1,2,3\}$ によって生成され、実定数 $n, m, l$ と3つの動的関数 $\Psi(q)$, $\Phi(q)$, $\Pi(q)$ によってパラメータ化される。 これらのパラメータや関数に対して適切な値を選択することで、我々のフレームワークは、$q = 1$と$\Psi = 1$、$\Phi = \Pi = 0$の古典的ハイゼンベルク代数や$q \neq 1$の様々な$q$変形代数など、特殊ケースとしてよく知られた代数を復元する。 これらの一般化の代数的一貫性は、一連の明示的な例を通して示され、結果として得られる構造は、量子平面 \cite{Yuri-Manin2010} とリー代数の準同型 \cite{Reyes2014a} に付随する包絡代数と一致することが示される。 この構成は、量子力学、非可換幾何学、量子群理論の潜在的な応用を含む、量子変形を研究するためのフレキシブルで統一的な定式化を提供する。

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