Fugu-MT 論文翻訳(概要): Position as an independent variable and the emergence of the $1/2$-time fractional derivative in quantum mechanics

論文の概要: Position as an independent variable and the emergence of the $1/2$-time fractional derivative in quantum mechanics

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.15081v1
Date: Tue, 25 Jul 2023 19:57:23 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2023-08-06 11:34:24.229862
Title: Position as an independent variable and the emergence of the $1/2$-time fractional derivative in quantum mechanics
Title（参考訳）: 独立変数としての立場と量子力学における1/2$-time fractional derivativeの出現
Authors: Marcus W Beims and Arlans JS Lara
Abstract要約: 函数 $cal P(pm)$ を導出し、ポテンシャル $cal V(q)$ とハミルトニアン $cal H$ の下で空間発展を生成する。ディラックの手順を用いて変数の分離が可能であり、結合された位置非依存のディラック方程式は1/2$-fractional derivativeに依存するが、結合された時間非依存のディラック方程式(TIDE)はポテンシャルの正と負のシフトをもたらす。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: Using the position as an independent variable, and time as the dependent variable, we derive the function ${\cal P}^{(\pm)}$, which generates the space evolution under the potential ${\cal V}(q)$ and Hamiltonian ${\cal H}$. Canonically conjugated variables are the time and minus the Hamiltonian. While the classical dynamics do not change, the corresponding quantum operator naturally leads to a $1/2-$fractional time evolution, consistent with a recently proposed spacetime symmetric formalism of quantum mechanics. Using Dirac's procedure, separation of variables is possible, and while the coupled position-independent Dirac equations depend on the $1/2$-fractional derivative, the coupled time-independent Dirac equations (TIDE) lead to positive and negative shifts in the potential, proportional to the force. Both equations couple the ($\pm$) solutions of ${\cal \hat P}^{(\pm)}$ and the kinetic energy ${\cal K}_0$ is the coupling strength. We obtain a pair of coupled states for systems with finite forces. The potential shifts for the harmonic oscillator (HO) are $\pm\hbar\omega/2$, and the corresponding pair of states are coupled for ${\cal K}_0\ne 0$. No time evolution is present for ${\cal K}_0=0$, and the ground state with energy $\hbar\omega/2$ is stable. For ${\cal K}_0>0$, the ground state becomes coupled to the state with energy $-\hbar\omega/2$, and \textit{this coupling} allows to describe higher excited states. Energy quantization of the HO leads to quantization of ${\cal K}_0=k\hbar\omega$ ($k=1,2,\ldots$). For the one-dimensional Hydrogen atom, the potential shifts become imaginary and position-dependent. Decoupled case ${\cal K}_0=0$ leads to plane-waves-like solutions at the threshold. Above the threshold, we obtain a plane-wave-like solution, and for the bounded states the wave-function becomes similar to the exact solutions but squeezed closer to the nucleus.
Abstract（参考訳）: この位置を独立変数とし、時間を依存変数として使うと、函数 ${\cal P}^{(\pm)}$ が導出され、これはポテンシャル ${\cal V}(q)$ とハミルトニアン ${\cal H}$ の下で空間発展を生成する。正準共役変数はハミルトニアンの時間と最小である。古典力学は変化しないが、対応する量子作用素は自然に1/2-$fractional time evolutionをもたらし、最近提案された量子力学の時空対称形式と一致する。ディラックの手順を用いて変数の分離が可能であり、結合された位置非依存のディラック方程式は1/2$-fractional derivativeに依存するが、結合された時間非依存のディラック方程式(TIDE)は力に比例して電位の正と負のシフトをもたらす。どちらの方程式も${\cal \hat P}^{(\pm)}$の($\pm$)解と${\cal K}_0$の運動エネルギーは結合強度である。有限力を持つ系に対する一対の結合状態を得る。調和振動子(HO)のポテンシャルシフトは$\pm\hbar\omega/2$で、対応する状態のペアは${\cal K}_0\ne 0$で結合される。時間発展は、${\cal k}_0=0$ に対して存在せず、エネルギー $\hbar\omega/2$ の基底状態は安定である。 ${\cal K}_0>0$ の場合、基底状態はエネルギー $-\hbar\omega/2$ で状態に結合し、 \textit{this coupling} はより高い励起状態を記述することができる。 HOのエネルギー量子化は${\cal K}_0=k\hbar\omega$$k=1,2,\ldots$の量子化につながる。 1次元水素原子では、ポテンシャルシフトは想像力と位置依存になる。分離ケース ${\cal K}_0=0$ は、しきい値における平面波のような解をもたらす。しきい値を超えると、平面波状溶液が得られ、境界状態の場合、波動関数は正確な解と似ているが、核に近づいた。

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